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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Vincent Tolleron
% Corrigé : François Hache

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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
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\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
\renewcommand{\)}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
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\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
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}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane~\decofourright\\19 juin 2013\\[3pt]
Corrigé}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}% \section{exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textit{Aucune explication n'était demandée dans cet exercice.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item
\textbf{d.} 38\,\%

\textit{Augmenter de $20\,\%$ c'est multiplier par $1,20$; augmenter de $15\,\%$ c'est multiplier par $1,15$. Augmenter de $20\,\%$ puis de $15\,\%$, c'est multiplier par $1,20\times 1,15 = 1,38$ donc c'est augmenter de $38\,\%$.}

\medskip 

\item \textbf{c.} Courbe 3

\textit{En comparant le sens de variation de $f$ et le signe des fonctions proposées comme dérivées, on peut éliminer les courbes 1 et 4. La tangente à $\mathcal C$ passant par A a pour coefficient directeur $1$ ce qui permet d'éliminer la courbe 2.}
 
\medskip  
 
\item \textbf{b.} $f'\(x\) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}$

\textit{On applique les formules $\(\dfrac{u}{v}\)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ et $\(\ln\(x\)\)'=\dfrac{1}{x}$.}

\medskip 

\item \textbf{a.} $S = 2 \times \dfrac{1 - 1,05^{12}}{1 - 1,05}$

\textit{La somme des premiers termes d'une suite géométrique est $u_0 \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$.}

\medskip 

\item \textbf{c.} $0,48$

\textit{On obtient ce résultat à la calculatrice.}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}% \section{exercice 2}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}% \subsection{partie A}

\medskip
 
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathcal C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~20]. On a tracé les tangentes à la courbe $\mathcal C$ aux points A, D et E d'abscisses respectives $0$, $6$ et $11$.
 
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
 \begin{center}
\psset{unit=0.5cm, algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-6)(21,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,showpoints=true](0,-5)(2,-5)(2,7)
\def\f{(5*x-5)*EXP(-0.2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(21,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-5.99)(21,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}} \uput[dl](21,0){$x$} \uput[dl](0,11){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{20}{\f}
\pscustom[fillstyle=hlines, linestyle=solid, linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{   
\psplot{4}{8}{\f}           % courbe de f sur [4;8]
\lineto(8,0)\lineto(4,0)    % trace les segments
\closepath                  % indispensable pour fermer le chemin
}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=prune}
\psline(3,9.97)(20,0.554)
\psline(0,-5)(2.5,10)
\psline(-0.5,7.53)(20,7.53)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](6,7.53)(11,5.54)(1,0)
\uput[ur](1,0){\bleu \footnotesize{B}} 
\uput[ul](6,7.53){\bleu \footnotesize{D}} 
\uput[ur](11,5.54){\bleu \footnotesize{E}} 
\uput[r](0,-5){\bleu \footnotesize{A}}
\uput[ur](19,2){\bleu $\mathcal C$}
\psline[linecolor=red](-0.5,4)(20,4)
\uput{3pt}[u](18,4){\red \small $y=4$}
\end{pspicture}
\end{center}

%Par lecture graphique (aucune justification n'est demandée) : 

\begin{enumerate}

\item% Donner les valeurs exactes de $f(0),\: f(1),\: f'(0)$ et $f'(6)$. 
$f\(0\)=-5$ (point A); $f\(1\)=0$ (point B); $f'\(0\)=\dfrac{12}{2}=6$ et $f'\(6\)=0$ (point D)

\item% Indiquer si la courbe $C$ admet un point d'inflexion. Si oui, préciser ce point. 
La courbe $\mathcal C$ semble avoir le point E comme point d'inflexion.


\item% Déterminer un encadrement, d'amplitude 4, par deux nombres entiers de 
$I = \displaystyle\int_{4}^{8} f(x)\:\text{d}x$;
$28 \pp I \pp 32$;
\textit{c'est l'aire de la partie hachurée en rouge sur le graphique.}


\item% Indiquer le nombre de solutions  de l'équation $f(x) = 4$. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l'unité.
L'équation $f\(x\)=4$ admet deux solutions, l'une dans l'intervalle $[2\:; 3]$ et l'autre dans l'intervalle $[13\:; 14]$.

\textit{Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y=4$.}


\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

\medskip
 
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~20] par 
$f\(x\) = \(5x - 5\)\e^{- 0,2\,x}$.
 
\begin{enumerate}

\item% Montrer que $f'(x) = (- x + 6)\text{e}^{- 0,2x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. 
$f'\(x\)=5 \times \e^{- 0,2\,x} + \(5x-5\)\times \(-0,2\e^{- 0,2\,x}\)
= 5 \e^{- 0,2\,x} - x\e^{- 0,2\,x} + \e^{- 0,2\,x}
= 6 \e^{- 0,2\,x} - x\e^{- 0,2\,x} \\
\phantom{f'\(x\)}= \(-x+6\)\e^{- 0,2\,x}$


\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~20]. 
Pour tout réel $x$, $\e^{-0,2\,x}>0$ donc $f'\(x\)$ est du signe de $-x+6$.

\begin{tabular}{@{} l @{\hspace*{0.5cm}\textbullet{}\quad} l}
$-x+6 >0 \iff 6>x \iff x<6$ donc: &   $f'\(x\) >0$ sur $[0\:; 6[$;\\
&   $f'\(6\) =0 $;\\
&  $f'\(x\) <0$ sur $]6\:; 20]$.
\end{tabular}

		\item% Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~20]. On fera apparaître les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(6)$.
$f\(0\)=-5\e^0 = -5$; $f\(6\)=\(5\times 6-5\)\e^{-0,2\times 6}
= 25\e^{-1,2} \approx 7,53$; 
$f\(20\)=\(5\times 20-5\)\e^{-4}=95\e^{-4} \approx 1,74$;
d'où le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{2.5cm} & 6 & \hspace*{2.5cm} & 20 \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
f'\(x\) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} &  \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{25\e^{-1,2}}  &  &    \rule{0pt}{12pt} \\  
f\(x\) & &     &  &  &    \\ 
 & \Rnode{min1}{-5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{95\e^{-4}}   
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	



	\end{enumerate} 

\item% Justifier que l'équation $f(x) = 4$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0~;~6]. Donner la valeur arrondie au millième de $\alpha$. 

On complète le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{2.5cm} & 6 & \hspace*{2.5cm} & 20 \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
%f'\(x\) &  &   \hspace*{1cm}\pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} &  \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{25\e^{-1,2}}  &  &    \rule{0pt}{12pt} \\  
f\(x\) & &     &  &  &    \\ 
 & \Rnode{min1}{-5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{95\e^{-4}} \rule{0pt}{18pt}   
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red](-7,0.6)(-7,1.6)
\rput(-7,0.6){\fcolorbox{white}{white}{\red 4}}
\rput(-7,2){\red \alpha} 
 \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	

D'après ce tableau de variations, on peut conclure que l'équation $f\(x\)=4$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0\:; 6]$.

En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice:

$\left. 
\begin{array}{l}
f\(\np{2,2562}\) \approx \np{3,99998} <4\\
f\(\np{2,2563}\) \approx \np{4,00022} >4
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\alpha \in [\np{2,2562} \:; \np{2,2563}]$

donc la valeur arrondie au millième de $\alpha$ est $2,256$.


\item

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la fonction $F$ définie sur [0~;~20] par $F(x) = (-25x - 100)\text{e}^{- 0,2x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~20]. 
Soit $F$ la fonction définie sur $[0\:; 20]$ par $F\(x\) = \(-25x - 100\)\e^{- 0,2\,x}$.

$F'\(x\)=\(-25\)\times \e^{- 0,2\,x} + \(-25x-100\)\(-0,2 \times \e^{- 0,2\,x}\)
= -25\e^{- 0,2\,x} +5x\e^{- 0,2\,x} +20\e^{- 0,2\,x}\\
\phantom{F'\(x\)} = -5 \e^{- 0,2\,x} +5x\e^{- 0,2\,x}
= \(5x-5\)\e^{- 0,2\,x} = f\(x\)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0\:; 20]$.



		\item% Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [4~;~8]. 
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[4\:; 8]$ est $M= \dfrac{1}{8-4}\ds\int_4^8 f\(x\) \d x$.		

$\ds\int_4^8 f\(x\) \d x = F\(8\)-F\(4\) = \(\(-25\times 8-100\)\e^{-0,2\times 8}\) - \(\(-25\times 4-100\)\e^{-0,2\times 4}\)\\
\hphantom{\ds\int_4^8 f\(x\) \d x}
= -300 \e^{-1,6} - \(-200\e^{-0,8}\)
= 200\e^{-0,8}-300\e^{-1,6}$

Donc $M=\dfrac{1}{4}\(200\e^{-0,8}-300\e^{-1,6}\)
= 50\e^{-0,8}- 75\e^{-1,6}$

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}% \subsection{partie C}

\medskip
 
Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets où $x$ appartient à [0~;~20]. La fonction $f$ modélise le bénéfice de l'entreprise en milliers d'euros.
 
%Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l'équation $f(x) = 4$ admet une autre solution $\beta$ sur [6~;~ 20] dont la valeur arrondie au millième est $13,903$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins 4000~\euro{} ? (Arrondir à l'unité). 

On admet que l'équation $f(x) = 4$ admet une autre solution $\beta$ sur [6~;~ 20] dont la valeur arrondie au millième est $13,903$; on intègre cette information dans le tableau de variations de $f$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{2.5cm} & 6 & \hspace*{2.5cm} & 20 \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
%f'\(x\) &  &   \hspace*{1cm}\pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} &  \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{25\e^{-1,2}}  &  &    \rule{0pt}{12pt} \\  
f\(x\) & &     &  &  &    \\ 
 & \Rnode{min1}{-5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{95\e^{-4}} \rule{0pt}{18pt}   
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red](-7,0.6)(-7,1.6)
\rput(-7,0.6){\fcolorbox{white}{white}{\red 4}}
\rput(-7,2){\red \alpha} 
\def\bet{-2.2} 
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](\bet,0.6)(\bet,1.6)
\rput(\bet,0.6){\fcolorbox{white}{white}{\red 4}}
\rput(\bet,2){\red \beta}  
 \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	

D'après ce tableau de variations, $f\(x\)\pg 4$ pour $x\in [\alpha\:; \beta]$.

Pour que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins \np{4000}~\euro{} il faut déterminer $x$ pour que $f\(x\)\pg 4$, c'est-à-dire pour $\alpha \pp x \pp \beta \iff 2,256 \pp x \pp 13,903$. Comme $x$ désigne des centaines d'objets, il faut que le nombre d'objets produits soit compris entre \np{226} et \np{1390}. 


\item L'entreprise pense produire régulièrement entre $400$ et $800$~objets, ce qui correspond à $x \in [4\:; 8]$. 

La valeur moyenne du bénéfice est donnée par:\\
$\dfrac{1}{8-4}\ds\int_4^8 f\(x\) \d x \times \np{1000} =  \(50\e^{-0,8}- 75\e^{-1,6}\)\times \np{1000} \approx \np{7324,2}$.

La valeur moyenne du bénéfice est \np{7324}~\euro.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}% \section{exercice 3 non spé}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip 
% 
%Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d'ordinateurs portables, de tablettes, et d'ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.
% 
%Le responsable constate que 28\,\% des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48\,\% pour un ordinateur portable.
% 
%Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu'il peut souscrire ou non une extension de garantie.
% 
%Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5\,\% ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5\,\% ont souscrit une extension de garantie.
%
%\medskip
% 
%On choisit au hasard un de ces acheteurs.
% 
%On note :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $T$ l'évènement \og l'acheteur a choisi une tablette \fg{} ; 
%\item[ ] $M$ l'évènement \og l'acheteur a choisi un ordinateur portable \fg{} ; 
%\item[ ] $F$ l'évènement \og l'acheteur a choisi un ordinateur fixe\fg{} ; 
%\item[ ] $G$ l'évènement \og l'acheteur a souscrit une extension de garantie \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note aussi $\overline{F} , \overline{M} , \overline{T} , \overline{G}$ les évènements contraires.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On construire un arbre pondéré indiquant les données de l'énoncé: 

\medskip

\begin{center}
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{0,28}}
	                        {
	                        \TR{$G$}\naput{0,05}
			                \TR{$\overline G$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\naput{0,48}}
	                        {
	                        \TR{$G$}
			                \TR{$\overline G$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}}
	                        {
	                        \TR{$G$}\naput{0,125}
			                \TR{$\overline G$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\end{center}


\item% Calculer $P(F)$ la probabilité de l'évènement $F$, puis $P(F \cap G)$. 
L'ensemble $\left\lbrace T\:; M\:; F \rule{0pt}{9pt}\right\rbrace$ forme une partition de l'ensemble des acheteurs donc\\
$P\(T\) + P\(M\) + P\(F\)=1$; et donc
$P\(F\)= 1- P\(T\) - P\(M\)=1-0,28-0,48 = 0,24$

$P\(F \cap G\)= P\(F\) \times P_F\(G\)= 0,24\times 0,125 = 0,03$

\item On sait que 12\,\% des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie donc $P\(M \cap G\)=0,12$;
$P_M\(G\) = \dfrac{P\(M \cap G\)}{P\(M\)} = \dfrac{0,12}{0,48}=0,25$

La probabilité qu'un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie est 0,25.

\item% Montrer que $P(G) = 0,164$. 
D'après la formule des probabilités totales:\\
$P\(G\) = P\(T \cap G\) + P\(M \cap G\) + P\(F \cap G\)
= 0,28\times 0,05 + 0,12 + 0,03 = 0,164$


\item% Pour tous les appareils, l'extension de garantie est d'un montant de $50$~euros. Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque \np{1000} appareils seront vendus? 
S'il y a \np{1000} appareils vendus, le vendeur peut espérer $\np{1000} \times 0,164 = 164$ extensions de garanties ce qui rapporte $164 \times 50 = \np{8200}$ euros.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}% \section{exercice 3 spé}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux.
 
La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.

\bigskip

\parbox{0.52\linewidth}{
Légende :

 \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{lll l}
%\large{\ding{192}}
{\small \pscirclebox{1}} & Départ & {\small \pscirclebox{2}} & Passerelle\\ {\small \pscirclebox{3}} & Roche percée & {\small \pscirclebox{4}} & Col des 3 vents\\
{\small \pscirclebox{5}} & Pic rouge &{\small \pscirclebox{6}} & Refuge\\ 
{\small \pscirclebox{7}} & Col vert & {\small \pscirclebox{8}} & Pont Napoléon\\  
{\small \pscirclebox{9}} & Cascade des anglais & {\scriptsize \pscirclebox{10}} & Arrivée\\
\\
\\

\end{tabular}}
\hfill\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(8.5,6)
\psset{linewidth=1pt,dotstyle=*,dotscale=1.2}
\rput(0.4,3.6){\circlenode{A}{1}} 
\rput(1.7,3.3){\circlenode{B}{2}}
\rput(1.6,.7){\circlenode{C}{3}}
\rput(3.1,6.8){\circlenode{D}{4}}
\rput(3.6,4){\circlenode{E}{5}}
\rput(3.9,2.2){\circlenode{F}{6}}
\rput(5.9,3){\circlenode{G}{7}}
\rput(6.3,1.1){\circlenode{H}{8}}
\rput(6.9,6.7){\circlenode{I}{9}}
\rput(7.5,2.4){\circlenode{J}{\small 10}}
\ncline{A}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{A} \ncline{A}{D} \ncline{D}{B} \ncline{B}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{I} \ncline{I}{G} \ncline{G}{E}
\ncline{E}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{J} \ncline{J}{I} \ncline{F}{H} \ncline{H}{G}
\psset{linewidth=.75pt,,linecolor=black,labelsep=1.5pt}
\uput[l](-.1,3.6){\red D}
\uput[dl](8.3,2.4){\red A}
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\begin{enumerate}

\item Un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois est:

\hfill \pscirclebox{1} -- \pscirclebox{3} -- \pscirclebox{2} -- \pscirclebox{4} -- \pscirclebox{5} -- \pscirclebox{6} -- \pscirclebox{8} -- \pscirclebox{7} -- \pscirclebox{9} -- \pscirclebox{\small 10} \hfill\,

\item% Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? Justifier votre réponse.

Un chemin qui passe une fois et une seule par toutes les arêtes d'un graphe est un chemin \og{}eulérien\fg{}. On cherche donc un chemin eulérien qui part de D pour arriver à A.

rIl faut pour cela que tous les sommets du graphe soient de degré pair, sauf le sommet \pscirclebox{1} et le sommet \pscirclebox{\small 10}; ce n'est pas le cas donc il n'existe pas d'itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois.

\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre. On donne $M^5$: 

\begin{center}
{$M^5 = \begin{pmatrix}
56 &78 &75 &82 &59 &57 &54& 40 &26 &31\\
78 &88 &95 &89 &96 &57 &50 &65 &48 &30\\ 
75 &95 &68 &68 &77 &68 &46 &73 &52 &23\\ 
82 &89 &68 &62 &98 &49 &29 &79 &67 &13\\ 
59 &96 &77 &98 &50 &82 &80 &40 &24&46 \\
57 &57 &68 &49 &82 &36 &25 &68 &49 &16\\ 
54 &50 &46 &29 &80 &25 &10 &73 &60 &5\\ 
40 &65 &73 &79 &40 &68 &73 &32 &14 &48\\ 
26 &48 &52 &67 &24 &49 &60 &14 &6 &39 \\
31 &30 &23 &13 &46 &16 &5 &48 &39 &2
\end{pmatrix}$}
\end{center}

	\begin{enumerate}

		\item Le nombre $89$ situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne donne le nombre de chemins de longueur 5 (la puissance de la matrice $M$) reliant le sommet \pscirclebox{2} (deuxième ligne) au sommet \pscirclebox{4} (quatrième colonne).

		\item% Déterminer le nombre d'itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge.
D se trouve au sommet \pscirclebox{1} et A se trouve au sommet \pscirclebox{\small 10}; on va donc chercher tous les chemins de longueur 5 qui vont du sommet \pscirclebox{1} au sommet \pscirclebox{\small 10}: c'est le nombre situé sur la matrice $M^5$ à la ligne 1 et en colonne 10.

Il y a donc 31 itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers.

Un de ceux passant par le pic rouge est:
\pscirclebox{1} -- \pscirclebox{2} -- \pscirclebox{5} -- \pscirclebox{7} -- \pscirclebox{8} -- \pscirclebox{\small 10}

	\end{enumerate} 


\item On a complété ci-dessous le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers. 


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,7)
\psset{linewidth=1pt,dotstyle=*,dotscale=1.2}
\rput(0.4,3.6){\circlenode{A}{1}} 
\rput(1.7,3.3){\circlenode{B}{2}}
\rput(1.6,.7){\circlenode{C}{3}}
\rput(3.1,6.8){\circlenode{D}{4}}
\rput(3.6,4){\circlenode{E}{5}}
\rput(3.9,2.2){\circlenode{F}{6}}
\rput(5.9,3){\circlenode{G}{7}}
\rput(6.3,1.1){\circlenode{H}{8}}
\rput(6.9,6.7){\circlenode{I}{9}}
\rput(7.5,2.4){\circlenode{J}{10}}
\ncline{A}{C}\ncput*{\sf{\small{15}}} \ncline{C}{B}\ncput*{\sf{\small{25}}} \ncline{B}{A}\ncput*{\sf{\small{35}}} \ncline{A}{D}\ncput*{\sf{\small{90}}} \ncline{D}{B}\ncput*{\sf{\small{60}}} \ncline{B}{E}\ncput*{\sf{\small{50}}} \ncline{E}{D}\ncput*{\sf{\small{35}}} \ncline{D}{I}\ncput*{\sf{\small{45}}} \ncline{I}{G}\ncput*{\sf{\small{20}}}\ncline{G}{E}\ncput*{\sf{\small{10}}}
\ncline{E}{F}\ncput*{\sf{\small{40}}} \ncline{F}{C}\ncput*{\sf{\small{25}}} \ncline{C}{H}\ncput*{\sf{\small{90}}} \ncline{H}{J}\ncput*{\sf{\small{40}}} \ncline{J}{I}\ncput*{\sf{\small{20}}} \ncline{F}{H}\ncput*{\sf{\small{55}}} \ncline{H}{G}\ncput*{\sf{\small{15}}}
\psset{linewidth=.75pt,,linecolor=black,labelsep=1.5pt}
\uput[l](-.1,3.6){\red D}
\uput[dl](8.3,2.4){\red A}
\end{pspicture}
\end{center}

On va déterminer l'itinéraire allant de D à A le plus court en temps en utilisant l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline 
\  1\   &  2  &  3  &  4  &  5   &   6   &   7   &   8   &   9   &    10   &{\scriptsize On garde} \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & 1 \\
\hline
 & 35(1) & \sur{15 (1)} & 90 (1) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & 3 (1)\\
\hline
 & \sout{40 (3)} & & 90 (1) & $\infty$ & 40 (3) & $\infty$  & 105 (3) & $\infty$ & $\infty$ & \\[-3pt]
 & \sur{35 (1)} & & & & & & & & & 2 (1)\\
 \hline
 & & & \sout{95 (2)} & 85 (2) & \sur{40 (3)} & $\infty$ & 105 (3) & $\infty$ & $\infty$ & \\[-3pt]
 & & & 90 (1) & & & & & & & 6 (3)\\
\hline
 & & & 90 (1) & \sout{85 (2)} &  & $\infty$ & \sout{105 (3)} & $\infty$  & $\infty$  &  \\[-3pt]
 & & &        & \sur{80 (6)}  &  &          &  95 (6) & & & 5 (6)\\
\hline

 & & & \sout{115 (5)} & & & 90 (5) & 95 (6) & $\infty$ & $\infty$ & \\[-3pt]
 & & & \sur{90 (1)}   & & &        &        &          &          & 4 (1)\\
\hline
 & & & & & & \sur{90 (5)} & 95 (6) & 135 (4) & $\infty$ & 7 (5)\\
\hline
 & & & & & & & \sout{105 (7)} & \sout{135 (4)} & $\infty$ & \\[-3pt]
 & & & & & & & \sur{95 (6)} & 110 (7) & & 8 (6)\\
\hline
 & & & & & & & & \sur{110 (7)} & 135 (8) & 9 (7)\\
\hline
 & & & & & & & & & \sout{135 (8)} & \\[-3pt]
 & & & & & & & & & \sur{130 (9)}  & 10 (9)\\
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 

L'itinéraire le plus court en temps allant de D à A est de 130 minutes:

\smallskip

\hfill {\red D --}
\pscirclebox{1} $\stackrel{15}{\longrightarrow}$ 
\pscirclebox{3} $\stackrel{25}{\longrightarrow}$ 
\pscirclebox{6} $\stackrel{40}{\longrightarrow}$ 
\pscirclebox{5} $\stackrel{10}{\longrightarrow}$ 
\pscirclebox{7} $\stackrel{20}{\longrightarrow}$ 
\pscirclebox{9} $\stackrel{20}{\longrightarrow}$ 
\pscirclebox{\small 10} {\red -- A}\hfill\,

\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}% \section{exercice 4}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Les parties A et B sont indépendantes.
% 
%Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l'exercice.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}% \subsection{partie A}

\medskip
 
La direction d'une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter les proportions ci-dessous en termes de contrat d'embauche du personnel :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 80\,\% de CDI (contrat à durée indéterminée) 
\item 20\,\% de CDD (contrat à durée déterminée).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
					&CDI 	&CDD 	&Effectif total\\ 
\hline
Site de production A& 315 	&106 	&421\\ 
\hline 
Site de production B& 52 	&16 	&68\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. 
Le pourcentage de CDI sur le site de production A est: $\dfrac{315}{421}\times 100 =75\,\%$.

Le pourcentage de CDI sur le site de production B est: $\dfrac{52}{68}\times 100 \approx 76,471\,\%$.



\item% Pour une proportion $p = 0,8$, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95\,\% relatifs aux échantillons de taille $n$, pour $n = 421$ et pour $n = 68$. 

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est:

\hfill $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\(1-p\)}}{\ds \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\(1-p\)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\hfill\,

Pour $p=0,8$ et $n=421$, on trouve:

$I_{\text A} = \left[ 0,8- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,8 \times 0,2}}{\ds \sqrt{421}}\:; 0,8 + 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,8 \times 0,2}}{\ds \sqrt{421}} \right]
\approx \left[ 0,761\:; 0,838 \right]$

Pour $p=0,8$ et $n=68$, on trouve:

$I_{\text B} = \left[ 0,8- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,8 \times 0,2}}{\ds \sqrt{68}}\:; 0,8 + 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,8 \times 0,2}}{\ds \sqrt{68}} \right]
\approx \left[ 0,704 \:; 0,895 \right]$

\item% Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ?

Pour le site de production A, le pourcentage de CDI de 75\,\% n'appartient pas à l'intervalle de fluctauation asymptotique $I_{\text A}$; on peut dire que la proportion de CDI n'est pas respectée sur le site de production A.

Pour le site de production B, le pourcentage de CDI de 76,471\,\%  appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique $I_{\text B}$; on peut dire que la proportion de CDI est respectée sur le site de production B.

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

%\medskip
% 
%\emph{Dans cette partie, on convient que l'on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique lorsque $n \geqslant 30,\: np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$, où $p$ désigne la proportion dans une population, et $n$ désigne la taille d'un échantillon de cette population.}

\medskip

La direction de cette même société tolère 7\,\% de composants défectueux. Le responsable d'un site de production souhaite évaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7\,\%. Pour cela, il prélève un échantillon de composants électroniques.

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item Si le responsable prélève un échantillon de $50$~composants, on a $n=50$ et $p=0,07$ donc $n \pg 30$ mais $np=3,5 < 5$ donc on ne peut pas utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique. 

\item Si le responsable prélève un échantillon de $100$~composants, on a $n=100$ et $p=0,07$ donc $n \pg 30$, $np=7 \pg 5$ et $n\(1-p\) = 93 \pg 5$  donc on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique.

\item% Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille $100$, dans lequel $9$ composants électroniques s'avèrent défectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ? 

D'après la question précédente, on peut utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% pour $n=100$ et $p=0,07$:

$I = \left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\(1-p\)}}{\ds \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\(1-p\)}}{\ds\sqrt{n}} \right]\\[5pt]
\phantom{I} = \left[ 0,07 - 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,07\times 0,93}}{\ds \sqrt{100}}\:; 0,07 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,07 \times 0,93}}{\ds\sqrt{100}} \right]
\approx \texttt{[} 0,020 \:; 0,120 \texttt{]}$

La fréquence observée $\dfrac{9}{100\rule[-3pt]{0pt}{8pt}}=0,09$ appartient à l'intervalle de fluctuation $I$ donc on peut dire que l'échantillon respecte les contraintes de la chaîne de production.
\end{enumerate}

\end{document}