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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small  juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Toutes les réponses de cet exercice doivent être justifiées avec 
soin.\\ 
Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{}	on considère la courbe ci-dessous,
représentant une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2~;~4]$.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](-2,-2)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(7,7)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,6.5)(-1,2)(-0.5,0.8)(0,0.5)(0.65,1)(1,2)(1.23,3)(1.4,3.22)(1.5,3.36)(2,3.5)(2.6,3)(3,2)(3.5,0)(4,-2)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{ 0.5  x dup mul x 3 exp 3 div sub 2.25 mul add 0.5 mul ln}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-1,0.5)(1,0.5) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1,3.5)(3,3.5)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-1.5,3.5)(-0.5,0.5)
\psline[linestyle=dashed](-2,5)(0,-1) 
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lire $f(0),~ f(-1),~ f'(-1)$ et 
$f'(2)$. 
		\item Déterminer la dérivée logarithmique de $f$ en $- 1$ et en $2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le signe de $f$ et de sa dérivée $f$.
		\item Expliquer pourquoi la fonction $\ln f$
(c'est-à-dire logarithme népérien de $f$) est définie sur l'intervalle 
$[-2~;~3,5[$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les variations de $\ln f$ par les
deux méthodes suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item MÉTHODE 1 : Donner le signe de la dérivée de $\ln f$, et
en déduire le tableau de variations de $ln f$.
		\item MÉTHODE 2 : Sachant que $ln f$ est la composée de $f$ suivie de $\ln$ 
(c'est-à-dire $\ln  \circ f$), dresser les tableaux de variations des fonctions 
$f$ et $\ln$ puis en déduire celui de $\ln f$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Cet exercice comporte deux questions indépendantes l'une de l'autre.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

Un libraire vend des livres scientifiques,
des livres de littérature et divers autres livres dans les proportions suivantes:

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item livres scientifiques : 20\,\% des ventes ; 
\item livres de littérature : 38\,\% des ventes ;
\item divers autres livres 42\,\% des ventes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Dans chacune de ces trois catégories, il y a des livres scolaires et des livres
non scolaires.
 
Pour chaque livre vendu, le libraire remplit une fiche de renseignements. Il a
constaté que :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item 80\,\% des livres scientifiques sont des livres scolaire ;
\item 70\,\% des livres de littérature ne sont pas scolaires ;
\item 50\,\% des divers autres livres ne sont pas scolaires.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le libraire prend une fiche au hasard dans son fichier.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour qu'elle corresponde à un livre 
scientifique et scolaire ?
		\item Quelle est la probabilité pour qu'elle corresponde à un livre non 
scolaire ?
	\end{enumerate}
\item Au cours d'une semaine promotionnelle, pour tout achat dans cette librairie d'un ou plusieurs livres, une enveloppe cachetée contenant un seul billet est remise à chaque client.
 
Si elle contient :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item un billet vert, le client gagne $100$~francs ;
\item un billet jaune, le client gagne $20$~francs ;
\item un billet blanc, le client ne gagne rien. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pendant cette semaine, \np{1000}~personnes ont reçu une enveloppe et toutes les enveloppes ont été distribuées. Dans ces \np{1000}~enveloppes, il y a $10$ billets verts $30$~billets jaunes et les autres sont blancs.

Soit $X$ la variable aléatoire correspondant, en francs, au montant du 
gain. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis, il recueille chaque fois $120$ litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de $300$~litres.

Chaque semaine les matières stockées perdent, après décomposition ou prélèvement les trois quarts de leur volume.

Soit $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$ les volumes en litres stock\' es respectivement les premier, deuxième et troisi\` eme samedis après la tonte.

De manière g\' en\' erale, soit $V_{n}$ le volume stock\' e le $n$-ième samedi après la tonte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $V_{1} = 120$ litres, $V_{2} = 150$ litres, $V_{3} = 157,5$ litres.
		\item Calculer les volumes $V_{4}, V_{5}, V_{6}$ exprimés en litres, stockés respectivement les quatrième, cinquième, sixième samedis après la tonte.
	\end{enumerate}
\item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$.
\item On définit, pour tout $n \geqslant 1,\: t_{n}$ par : $t_{n} = 160 - V_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(t_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $t_{1} = 40$ et de raison $\frac{1}{4}$.
		\item En déduire les expressions de $t_{n}$ puis de $V_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de $\left(t_{n}\right)$ puis celle de $\left(V_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

On considère les fonctions $h$ et $p$ définies sur $\R$ par 

\[h(x) = \text{e}^x\quad \text{et}\quad p(x)	= x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Tracer les courbes représentatives de $h$ et $p$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
\item Ces deux courbes se coupent en un point A d'abscisse $\alpha$. 

Montrer que $a$ est solution de l'équation $x^2\text{e}^x = 1$ et lire sur le graphique une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x^2\text{e}^x - 1.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère 
orthonormal d'unité graphique 2cm. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Vérifier que $f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^x}  - 1$ et en déduire la limite de $f$ en + $\infty$. 
		
Interpréter graphiquement ce résultat. 
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique comprise entre $- 1$ et $0$ et que cette solution est $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement de $\alpha$à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1. 
\item Construire les tangentes et l'asymptote trouvées, ainsique $\mathcal{C}_{f}$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) =
(x^2 + 2x + 2)\text{e}^{-x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $g'(x)$. 
		\item En déduire la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}