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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small juin 1997}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane  juin 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$& 1 &2 &3 &4  &5 &6 &7 & 8 &9 \\ \hline 
&\footnotesize Inde&\footnotesize Koweït&\footnotesize Mauri\-tanie&\footnotesize France&\footnotesize Ghana&\footnotesize Congo&\footnotesize Véné\-zuéla&\footnotesize Japon&\footnotesize Mada\-gascar\\ \hline
$X_{i}$ &25,7 &69,6 &17 &98,7 &42,8 &55,4 &87,8 &100 &61,6\\ \hline 
$Y_{i}$& 95 &34 &127 &7,7 &90 &73 &25,1 &5 &120\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{D'après Les Chiffres du Monde Universalis - 1990}
\end{tabularx}

\medskip
 
Dans le tableau ci-dessus, $i$ désigne le numéro de l'observation, $X_{i}$ désigne le taux d'alphabétisation des femmes (\%) et $Y_{i}$ désigne le taux de mortalité infantile (\textperthousand). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points associé à cette série statistique double, (On prendra 1 cm pour 10\,\% en abscisse et 1 cm pour 10\,\textperthousand{} en ordonnée).

\medskip
 
\emph{Dans les questions suivantes, le détail des calculs n'est pas demandé.} 

\medskip

\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(X_{i},~Y_{i}\right)$ avec $1 \leqslant i \leqslant 9$, puis celui de la série $\left(X_{i},~Y_{i}\right)$ avec $1 \leqslant i \leqslant 8$. 

Pour laquelle de deux séries un ajustement affine est-il le plus approprié ? Justifier la réponse. 

Dans la suite on élimine les données concernant Madagascar en considérant la série $\left(X_{i},~Y_{i}\right)$ avec $1 \leqslant i \leqslant 8$. 

\item Déterminer une équation de la droite de régression linéaire de $Y$ en $X$. Tracer cette droite. Donner le résultat à $10^{-2}$ près par défaut. 
\item Si on appliquait le modèle précédent à un pays où le taux d'alphabétisation des femmes est de 61,6\,\%, quel taux de mortalité infantile le calcul 	donnerait-il ? 

Le résultat sera donné à $10^{-1}$ près,
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une grave maladie affecte le cheptel bovin d'un certain pays, On estime 7\,\% des bovins atteints, 
On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie, on a établi que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item quand un animal est malade, le test est positif dans 87\,\% des cas; 
\item quand un animal n'est pas malade, le test est négatif dans 98\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $F$ l'évènement \og être malade \fg et $T$ l'évènement \og avoir un test positif \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

Calculer la probabilité des trois évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item \og $F$ et T\fg{} ; 
		\item \og $\overline{F}$ et $\overline{T}$ \fg{} ; 
		\item \og $F$ et $\overline{T}$ \fg. 
	\end{enumerate} 
\item En déduire la probabilité de $T$. 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un animal ayant un test négatif soit malade ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 

Dans une urne se trouvent : 

cinq boules marquées du numéro 10 ;

quatre boules marquées du numéro 15 ;
 
trois boules marquées du numéro 20, 

On tire simultanément trois boules de cette urne, Les tirages sont supposé équiprobables,

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants: 

$A$ : \og on tire au moins une boule marquée 15 \fg{}; 

$B$ : \og ont tire trois boules portant trois numéros différents \fg{} ;

$C$ : \og on tire trois boules portant le même numéro \fg{} ; 

$D$ : \og parmi les trois boules tirées, deux exactement portent le même numéro \fg. 

\item Il faut payer 51~francs pour effectuer un tirage de trois boules, et chaque tirage rapporte en francs la somme des points marqués. 

Montrer que la probabilité d'être gagnant est de $\dfrac{13}{220}$. 
\item On effectue cinq tirages successifs de trois boules en remettant les trois boules dans l'urne après chaque tirage.

Déterminer la probabilité d'être gagnant exactement trois fois. Donner le résultat à $10^{-3}$ près par excès. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 11 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $P$ le polynôme tel que 

\[P(x) = 3x^3 - 2x^2 - 1.\]

Vérifier que $P(x) = (x - 1 )\left(3x^2 + X + 1\right)$ puis étudier le signe de $P(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^3 - x^2 + 1 - \ln x.\]

étudier le sens de variation de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.  Les limites ne sont pas demandées. 

En déduire que pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[,\: g(x) > 0$. 
\item La fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 2\dfrac{\ln x}{x} + x^2 - 2x + 3.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item étudier les limites de $f$ en zéro et en l'infini. 
		\item Calculer la fonction dérivée de $f$ et exprimer $f'(x)$ à l'aide de $g(x)$. En déduire le sens de variation de $f$. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0,2~;~4]$ une solution unique $\alpha$ ; déterminer la valeur décimale approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près par défaut.
	\end{enumerate}
\item Soit un repère \Oij{} (unités : 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée).
 
Soit $P$ la courbe d'équation $y = x^2 - 2x + 3$ et soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(x) - \left(x^2 - 2x + 3\right)$. En déduire la limite quand $x$ tend vers l'infini de $f(x) - \left(x^2 - 2x + 3\right)$. 
		
Que peut-on en déduire pour les courbes $P$ et $C$ ? 
		\item étudier les positions relatives de P et C. 	~ 
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point A 
d'abscisse $1$. 
		\item Tracer $P, T$ et $C$. 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $\dfrac{\ln x}{x}$ peut s'écrire $\dfrac{1}{x}\ln x$, déterminer une primitive de la fonction $x \longmapsto 2\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0~;~+ \infty[$. 	
		\item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan comprise entre les courbe $C$ et $P$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 3$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}