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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Antilles--Guyane}
\rfoot{\small{juin 1999}} 

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 1999~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal, dont les unités sont 1~cm sur chaque axe. Construire ce repère sur votre copie en plaçant l'origine du repère en bas et à gauche.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la droite (D$_{1}$) d'équation $3x+ y = 30$, la droite
(D$_{2}$) d'équation $x + 4y = 32$ et la droite (D$_{3}$) d'équation $x + y = 10$.
\item Déterminer au moyen d'un calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites (D$_{1}$) et (D$_{2}$).
\item Repérer graphiquement à l'aide d'une croix (\og $\times$ \fg{}) les points du plan dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs, $x$ et $y$, qui vérifient de plus les conditions : 

\[3x + y \leqslant 30 \quad ; \quad  x + 4y \leqslant 32 \quad ; \quad x + y \geqslant 10.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Un artisan fabrique deux sortes de poupées : des petites poupées et des grandes poupées.
 
Les petites poupées nécessitent 3 heures de travail et les grandes poupées une heure seulement. L'artisan, avec ses ouvriers, peut travailler 30 heures au plus
par jour.

L'artisan ne dispose que de 32~mètres de tissu par jour. Il lui faut 1~mètre de tissu pour habiller une petite poupée et 4 mètres pour habiller une grande poupée.

On désigne par $x$ le nombre de petites poupées et par $y$ le nombre de grandes poupées produites dans une journée. L'artisan s'impose de fabriquer au moins 10~poupées par jour.
 
On admet que les contraintes de l'énoncé correspondent aux conditions 
suivantes :
 
\[\begin{array}{l l}
x ~\text{et}~ y ~\text{sont deux nombres entiers positifs} ~;&3x+y \leqslant 30~ ;\\
x \geqslant 0~;&	x + 4y \leqslant 32~;\\
y \geqslant 0~;&	x + y  \geqslant 10.\\
\end{array}\]

Le nombre total de poupées produites dans une journée de travail est représenté
par $S = x +y$.
 
L'artisan veut que sa production journalière $S$ soit maximum.

Combien de poupées de chaque sorte doit-il fabriquer ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une suite réelle $(U_{n})_{n \in \N}$ est définie par son premier 
terme $U_{0}$ strictement positif et par la relation de récurrence suivante : 

\[U_{n+1} - U_{n} = - 0,04 U_{n}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En fonction de $U_{0}$, calculer $U_{1}$,  $U_{2}$ et $U_{3}$.
\item Démontrer que cette suite est une suite
géométrique de premier terme $U_{0}$ et de raison $q$ que l'on déterminera.
\item Quel est son sens de variation ?
\item Exprimer $U_{n}$ en fonction de  $U_{0}$ et de $n$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Le 1$\up{er}$ janvier 1997, la population d'une commune rurale était de \np{3000}personnes. On admet que cette population a diminué  de 4\,\%  par an.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle a été la population de cette commune au 1$\up{er}$ janvier 1999 ?
\item Quelle sera la population de cette commune au 1\up{er} janvier 2000 ?
\item À partir de quelle année la population chutera-t-elle à moins de \np{2000}~personnes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des maximums de tension
artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée. 

\[\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c| *{6}{>{\centering \arraybackslash} X|} }\hline
Âge $x$		&36&42	&48		&54		&60 	&66\\ \hline
Tension $y$	&12&13,5&12,6	&14,3	&15,4	&15\\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement le nuage de points
$M(x~;~y)$ dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques 0,5~cm pour 1 an en abscisse et 3~cm en ordonnée pour l'unité de tension artérielle, l'origine correspond au point 1 de coordonnées (30 ~;~ 10).
\item Dans cette partie, vous pourrez utiliser votre
calculatrice.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer à $10^{-2}$ près le coefficient de corrélation entre $x$  et $y$. On admet qu'un ajustement par la méthode des moindres carrés est justifié.
		\item Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ et la représenter (les coefficients seront donnés à $0,001$ près).
		\item Une personne de $70$ ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension
théorique en utilisant la droite de régression ? Comparer avec la
tension réelle.
		\item Compléter le tableau de l'annexe  en utilisant les valeurs de \og $a$ \fg{} et de \og$b$\fg{} obtenues pour la droite de régression. 

Calculer la somme des \og carrés \fg{} de la dernière colonne, associée à cet ajustement (calcul de la somme des résidus associés à cet ajustement).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Annexe :}

À rendre avec la copie (après l'avoir complétée)

TABLEAU
$ a = \ldots \ldots		b = \ldots \ldots$

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c| c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&$y_{i}$&$ax_{i} + b$&$y_{i} - (ax_{i} + b)$&$\left[y_{i} - (ax_{i} +  b)\right]^2$\\ \hline
36 		&12 	& 			 & 						& \\ \hline
42 		&13,5 	& 			 & 						& \\ \hline
48 		&12,6 	& 			 & 						& \\ \hline
54 		&14,3 	& 			 & 						& \\ \hline
60 		&15,4 	& 			 & 						& \\ \hline
66 		&15 	& 			 & 						& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Somme des \og carrés \fg{} de la dernière colonne : \ldots \ldots.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill	11 points}

\medskip

\emph{Le but du problème est l'étude d'une fonction et le calcul
d'une aire liée à cette fonction.}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe ($\Gamma$) ci-jointe (annexe 1) est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$.

Les points A$\left( 1 ; \dfrac{3}{2}\right)$ et B$\left(\text{e} ;\dfrac{\text{e}^2}{2}\right)$ appartiennent à la courbe ($\Gamma$) et la tangente en A à ($\Gamma$) est parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $g(1)~;~g(\text{e})$ et $g'( 1)$.
\item Déterminer les réels $a$ et $b$, sachant que
la fonction $g$ est définie sur $]0~;~+\infty$[ par une expression de 
la forme :

\[g(x) = \dfrac{x^2}{2} + a + b \ln x.\]

\item Sachant que $g (x) = \dfrac{x^2}{2} + 1 - \ln x$, retrouver au moyen d'un calcul, le sens de variation de $g$.
(Le calcul des limites n'est pas demandé.)

En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe de $g$ sur $]0 ~;~ +\infty$[.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{x}{2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en 0 et  en $+\infty$.

(On admet le résultat suivant : limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln 
x}{x} = 0$.)
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$.

Vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ pour tout réel positif $x$.

En déduire les variations de $f$.
\item Montrer que la représentation graphique
($\mathcal{C}$) de $f$ dans un repère orthonormal admet deux asymptotes que l'on précisera.

La courbe ($\mathcal{C}$) de $f$ est donnée en annexe dans un repère orthonormal \Oij, unité 2 cm sur chaque axe. 
\item On admet l'existence d'un réel  $\alpha$ unique, appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$
tel que $f(\alpha) = 0$. Que représente $\alpha$ pour la courbe ($\mathcal{C}$) ? 

Placer sur la courbe ($\mathcal{C}$) le point I d'abscisse $\alpha$. 

Montrer que $\ln \alpha = -\dfrac{\alpha^2}{2}$. En déduire que $f'(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha^2}{\alpha^2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer  la dérivée de la 
fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (\ln x)^2$.

\item En déduire le calcul de J = 
$\displaystyle\int_{1}^{t} \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\: \text{d}x.$

\item Hachurer sur le graphique donné en annexe le
domaine plan limité par ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \textrm{e}$.

Déterminer l'aire, en cm$^2$, de ce domaine.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\gray \emph{Annexe} 2}

\emph{À rendre avec la copie (après l'avoir complétée)\\
Courbe} {\blue $(\Gamma$})

\vspace{1cm}
    
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(4,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
%\psline{->}(0,-0.5)(0,4.5) \psline{->}(-1,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1.5)(0,1.5) 
\psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,3.695) 
\uput[u](1,1.55){A} \uput[u](2.6,3.7){B} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} 
\rput(4,-0.3){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\psline(0,1)(0.1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.02}{3.21}{x dup mul 2 div 1 add x ln sub}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}
	
\emph{Courbe} ($\mathcal{C}$)

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}	
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-2)(6,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](6,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\rput(2.2,1.8){\blue $\mathcal{C}$}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.41}{5.5}{x ln x div x 2 div add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}