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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small {juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles juin 2004~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Chaque question contient trois propositions repérées par les lettres A, B 
et C.

Le candidat doit indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse 
sans justification.

À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque 
question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté, une 
réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.

Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions ; 
elles ne rapportent aucun point et n'en enlèvent aucun.

Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

\textbf{Les réponses seront transcrites dans le tableau fourni en
annexe.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La figure 1. donne la représentation graphique d'une fonction $f$ 
définie sur $\R$ et la figure 2 celle d'une primitive de $f$ sur $\R$.

\begin{center} 
\psset{xunit=2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-1)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-1)(3,6)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.1,-1)(-0.25,0)(0,0.375)(1,2)(1.5,3.2)(2,4.71828)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,4.71828)(2,4.71828)(2,0)
\uput[l](0,4.71828){e + 2}
\rput(0.5,-1.5){Figure 1}
\end{pspicture}

\vspace{0,8cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-1)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-1)(3,6)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,2)(-1,0.63)(-0.25,0.375)(0,0.4)(1,1.5)(1.5,2.85)(2,4.71828)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,4.71828)(2,4.71828)(2,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,1.5)(1,1.5)(1,0)
\uput[l](0,4.71828){e + 2}
\uput[l](0,1.5){$\frac{3}{2}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2}
\rput(0.5,-1.5){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,6cm}

Quelle est l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la 
représentation graphique de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les 
droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{Proposition A :~~} $\text{e} + \dfrac{3}{4}$&
\textbf{Proposition B :~~} $\text{e} + \dfrac{1}{2}$&
\textbf{Proposition C :~~} $1$
\end{tabularx}
\medskip 

\item La fonction $k$ définie et strictement positive sur $\R^+$ est connue 
par son tableau de variations.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$k(x)$}
\psline{->}(2.2,0.2)(4.5,2.5)  \psline{->}(5.5,2.5)(7.5,0.2)
\psline{->}(8.5,0.2)(10.5,2.5) \rput(11.2,2.6){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,6cm}

Quel est le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur 
$\R^+$ par $g(x) = \dfrac{1}{k(x)}$ ?

\vspace{0,5cm}

\begin{center}  \begin{pspicture}(12,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$g(x)$}
\psline{->}(2.5,2.5)(4.5,0.5)  \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2.5)
 \psline{->}(8.5,2.5)(10.5,0.5) \rput(11,0.2){$0$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(12,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$g(x)$}
\psline{->}(2.5,2.5)(4.5,0.5)  \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2.5)
\psline{->}(8.5,2.5)(10.5,0.5) \rput(11,0.2){$- \infty$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(12,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\psline(0,0)(12,0) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,0)(0,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(12,0)(12,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.18,3){$0$} \uput[u](5,3){$1$} 
\uput[u](8,3){3} \uput[u](11,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){$g(x)$} 
\psline{->}(2.2,0.2)(4.5,2.5)  \psline{->}(5.5,2.5)(7.5,0.2)
\psline{->}(8.5,0.2)(10.5,2.5) \rput(11,2.5){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^x - x + 
1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ dans un repère 
orthonormal \Oij.

\textbf{Proposition A :~~} \qquad La droite d'équation $y = 1$ est 
asymptote à $\mathcal{C}$.

\textbf{Proposition B :~~} \qquad  La droite d'équation $x = 0$ est 
asymptote à $\mathcal{C}$.

\textbf{Proposition C :~~} \qquad La droite d'équation $y = -x + 1$ est 
asymptote à $\mathcal{C}$.

\item En économie, le coût marginal est le coût occasionné par la 
production d'une unité supplémentaire, et on considère que le coût 
marginal est assimilé à la dérivée du coût total.

Dans une entreprise, une étude a montré que le coût marginal 
$C_{m}(q)$ exprimé en milliers d'euro en fonction du nombre $q$ 
d'articles fabriqués est donné par la relation :

\[C_{m}(q) = 3q^2 - 10q + \dfrac{2}{q} + 20.\]

Quel est le coût total $C_{T}$ exprimé en milliers d'euros 
sachant qu'il est de $10\:000$ euros pour $q = 1$ ?

\textbf{Proposition A :~~} \qquad $C_{r}(q) = q^3 - 5q^2 + 2\ln q + 
20q + 9984$.

\textbf{Proposition B :~~} \qquad  $C_{r}(q) = q^3 - 5q^2 + 2\ln q + 
20q - 6$.

\textbf{Proposition C :~~} \qquad $C_{r}(q) = 6q - 10 - \dfrac{2}{q^2}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

On considère les épreuves de courses du 100~m, 200~m ou 400~m lors des
meetings internationaux d'athlétisme. On s'intéresse au nombre de faux
départs survenant lors de ces épreuves. 

On rappelle qu'un faux départ est le démarrage d'un coureur avant le signal de départ donné par le starter, à la suite de quoi on doit donner un nouveau signal de départ.

Les statistiques des années précédentes ont permis d'établir les données
suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~$ la probabilité qu'il y ait un faux départ au premier signal est de 
0,2 ;  

$\bullet~$ quand il y a eu un faux départ au premier signal, la probabilité qu'il y ait de nouveau un faux départ au deuxième signal est de 0,05 ; 

$\bullet~$ il n'y a jamais de faux départ au troisième signal.
\setlength\parindent{0mm}

On admet que les départs sont indépendants les uns des autres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter ces données par un arbre de probabilités.

On notera	

$F_{1}$ : l'évènement : \og il y a un faux départ au premier signal \fg{} ;

$F_{2}$ : l'évènement : \og il y a un faux départ au deuxième signal \fg.

\item Montrer que la probabilité qu'il y a ait exactement un faux départ  est de $0,19$.
\item Déterminer la loi de probabilités du nombre de faux départs donnés lors d'une épreuve quelconque.

Justifier l'affirmation suivante: \og dans $20\:\%$ des épreuves, il y au moins un faux départ \fg.
\item Lors d'un quart de finale au 200 m, on fait courir les athlètes en
quatre séries indépendantes, soit quatre épreuves. 

Calculer la probabilité qu'il y ait exactement trois séries sans faux
départ au premier signal lors de ce quart de finale.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On s'intéresse aux performances réalisées par des étudiants courant 
le 200~mètres dans les compétitions universitaires. Lors d'une 
compétition, le \textbf{score} d'un(e) étudiant(e) est son meilleur 
temps en secondes obtenu aux 200~m. Une enquête a permis d'établir le 
comportement général suivant, qu'on supposera valable pour les filles 
et les garçons dans toute la suite :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ Lors de la première compétition, le score d'un(e) étudiant(e) est toujours supérieur ou égal à 25 secondes.

$\bullet~$ Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score strictement inférieur à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle)  réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes lors de 
la $n + 1$-ième compétition est de  $\dfrac{2}{5}$.

$\bullet~$ Si, lors de la $n$-ième compétition, l'étudiant(e) a réalisé un score supérieur ou égal  à 25 secondes, la probabilité qu'il (elle) réalise encore un score strictement inférieur à 25 secondes  est 
$\dfrac{1}{5}$.
\setlength\parindent{0mm}

On représente les données précédentes par un graphe probabiliste G à 
deux états.

On note A tout score strictement inférieur à 25 secondes et B tout 
score supérieur ou égal à 25 secondes.

On note $a_{n}$ la probabilité d'obtenir un score A lors de la 
compétition $n$ et $b_{n}$ la probabilité d'obtenir un score B lors 
de la compétition $n$.

L'état probabiliste lors de la compétition $n$ est donc représenté par 
la matrice ligne $\left(a_{n}~~b_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter G et donner sa matrice.
\item Jamalia, jeune étudiante, se présente à sa première compétition 
universitaire.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement 
inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de cette compétition.
		\item Calculer la probabilité qu'elle réalise un score strictement 
inférieur à 25 secondes aux 200 mètres lors de sa troisième compétition.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du graphe G.
\item Julien a déjà de nombreuses compétitions universitaires dans les 
jambes.

Montrer que, pour sa prochaine compétition, il a environ une chance 
sur quatre de réaliser un score strictement inférieur à 25 secondes 
aux 200 mètres.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0~;~5] par 

\[f(x) = 9x - 15 - \text{e}^{2 - 0,2x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur I. calculer 
$f'(x)$ et étudier son signe sur I.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur I.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur I une solution unique 
notée $\alpha$.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ 
est donnée par : $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t) 
\:\text{d}t$.

Calculer la valeur moyenne exacte de $f$ sur I.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une entreprise, un économiste est chargé de modéliser le coût de 
production exprimé en \textbf{milliers d'euro de} \boldmath $x$ 
\unboldmath \textbf{centaines d'objets} fabriqués.

Il obtient une fonction $C$ définie par 

\[C(x) = 9x + 15 + \text{e}^{2 - 0,2x}.\]

Chaque appareil est vendu 200 \euro{} mais seulement $90\,\%$ de la 
production est effectivement vendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que l'entreprise ne peut pas fabriquer plus de 500 
appareils, à quel intervalle J doit appartenir $x$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la recette $R$ en milliers d'euro, pour une 
production de $x$ centaines d'objets, est donnée par : $R(x) = 18x$.
		\item Montrer que le bénéfice, en milliers d'euro, obtenu lors de la 
production de $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $B$ 
définie sur J par : $B(x) = 9x - 15 - \text{e}^{2 - 0,2x}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la \textbf{partie A} :
	\begin{enumerate}
		\item le nombre minimum d'appareils que l'usine doit fabriquer pour faire un bénéfice ;
		\item la valeur moyenne du bénéfice, en milliers d'euro, réalisé pour 
les 500 premiers appareils fabriqués (donner un résultat arrondi à l'euro).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un promoteur a construit en 1980 une résidence formée de plusieurs 
petites maisons de vacances dont le prix de vente cette année là était 
de \np{170000}~francs par maison. En 1985 le prix de revente était de 
$240\,000$ francs, en 1992 de \np{320000}~francs, en 2000 de \np{60980}~ 
euros, et en 2003 de \np{69000}~euros.

On rappelle : 1 euro = \np{6,55957}~francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de valeurs $x_{i}$ et $y_{i}$, correspondant 
respectivement à l'année et au prix de vente d'une maison en euros 
(valeurs arrondies à l'euro si nécessaire).
\item Déterminer, à la calculatrice, l'équation de la droite 
d'ajustement linéaire obtenue par la méthode des moindres carrés, 
donnée sous la forme $y = ax + b,~a$ et $b$ étant arrondis au 
centième ; le détail des calculs n'est pas demandé.

 En déduire, par le calcul, une valeur approchée à l'euro près du prix 
de revente en 2005.
\item Soit $t\,\%$ le taux annuel moyen d'augmentation du prix de vente 
entre les années 1980 et 1985.

Exprimer le prix de revente en francs de la maison en 1985 en 
fonction de $t$.

En déduire que $t$ est égal à $100\left(\text{e}^{\frac{1}{5}\ln 
\left(\frac{24}{17}\right)} - 1\right)$.
\item On admet  qu'une valeur approchée de $t$ obtenue à partir de la 
question précédente est 7,14.

Si l'on suppose que le taux moyen annuel d'augmentation est, à partir 
de 1985, de $7,14\,\%$, calculer, en euro, le prix de revente en 2005.

Comparer avec le résultat trouvé à la question \textbf{2.}

Que pouvez-vous en déduire ?
\end{enumerate}
\end{document}