\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES Antilles-Guyane},
pdftitle = {juin 2006},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}   
\setlength\parindent{0mm}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le conservatoire du littoral créé en 1976 acquiert des  terrains sur le littoral français (métropole, Antilles-Guyane). Voici les superficies  en milliers d'hectares du patrimoine cumulé depuis sa création :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 	& 1976 &	1981&	1986&	1991&	1996&	2001 	\\\hline
Rang $x_{i}$	&1		&2	&3	&4	&5	&6	\\\hline
Superficie $y_{i}$ (en milliers d'hectares) &	2	&16	&28	&38	&50	&65	\\  \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la superficie possédée par le conservatoire du  littoral entre 1991 et 2001. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
\item Représenter le nuage  de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Sur l'axe des abscisses, on prendra 2 cm pour unité ;
\item Sur l'axe des ordonnées, on prendra 1 cm pour 5 milliers d'hectares.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item \emph{Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.}

Le nuage  de points permet  de penser qu'un ajustement affine est justifié.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au dixième)
		\item Représenter cette droite dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item Avec cet ajustement, calculer l'estimation de la superficie du patrimoine possédé par le conservatoire du littoral en 2006 (en milliers d'hectares).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le conservatoire du littoral a pour objectif de posséder une superficie de 200 milliers d'hectares. En quelle année ce chiffre sera-t-il atteint en utilisant cet ajustement?
		\item Sachant que 200 milliers d'hectares représentent 22\,\% de bande c\^otière française, quelle est la superficie totale, en hectares de la bande c\^otière française.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Tous les résultats seront arrondis au millième si nécessaire}

\medskip

Dans une auto-école, il y a deux filières possibles : l'apprentissage anticipé de la conduite (AAC) et la filière traditionnelle.

Afin d'inciter les candidats à préparer l'examen du permis de conduire avec la filière \og apprentissage anticipé de la conduite \fg{} (AAC), une auto-école fournit les résultats suivants aux futurs  candidats :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Il y a 40\,\% des candidats qui choisissent la formule AAC ;
\item Un candidat préparant son permis la filière AAC obtient son permis lors de la première présentation dans 79\,\% des cas ;
\item Un candidat préparant son permis avec la filière traditionnelle obtient son permis lors de la première présentation dans 49\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On interroge au hasard un candidat \textbf{après l'obtention du résultat} de sa première présentation.

On note A l'évènement : \og le candidat a préparé son examen avec la filière AAC \fg{}.

On note S l'évènement : \og le candidat a obtenu son permis de conduire \fg.

\begin{enumerate}
\item Traduire les données par un arbre pondéré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og le candidat a obtenu le permis lors de la première présentation et il l'a préparé avec la filière AAC \fg.
		\item Calculer la probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation.
	\end{enumerate}
\item Le candidat interrogé a échoué lors de la première présentation. Quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen avec la filière AAC ?
\item On interroge au hasard et de façon indépendante trois candidats après l'obtention du résultat de leur première présentation.

Calculer la probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué.
\item Cette auto-école pratique les tarifs suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \np{1200} \euro{} le forfait $20$~heures avec la filière AAC ;
\item \np{1050} \euro{} le forfait $20$~heures avec la filière traditionnelle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Sachant que le nombre d'inscrits est de $200$~candidats pour l'année, quel est le chiffre d'affaires annuel de cette auto-école pour l'année 2006 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les élèves  ayant  suivi la spécialité mathématique}

\medskip

Un jardinier doit décorer un jardin privatif en répartissant $10$~variétés de fleurs notées V$_{1}$ à V$_{10}$ dans différents parterres. Certaines de ces variétés ne peuvent pas être plantées ensemble pour des raisons diverses (tailles, couleurs, conditions climatiques, \ldots) et ces incompatibilités sont résumées dans le tableau ci-dessous (une croix indique qu'il y a incompatibilité entre deux variétés).

\begin{center}\begin{tabular}{|*{11}{c|}}\hline
Fleur&V$_{1}$ &V$_{2}$ &V$_{3}$ &V$_{4}$ &V$_{5}$ &V$_{6}$ &V$_{7}$ &V$_{8}$ &V$_{9}$ &V$_{10}$ \\ \hline
V$_{1}$ &	&	&	$\times$&	&	& $\times$&	&	&	&$\times$\\ \hline
V$_{2}$ &	&	&	$\times$&$\times$&$\times$&	&	& $\times$	&	& \\ \hline
V$_{3}$ & $\times$ &	$\times$	&	&$\times$&	& $\times$&	&	&	& \\ \hline
V$_{4}$ &		&$\times$&$\times$	&	& $\times$&	&		& $\times$ &$\times$ & \\ \hline
V$_{5}$ &		& $\times$&	&$\times$ &	&	& $\times$ &$\times$ &	& \\ \hline
V$_{6}$ &$\times$&	& $\times$ &	&	&	& $\times$ &	&	& \\  \hline
V$_{7}$ & 		&	&	&	& $\times$ &$\times$ &	&	&	& \\\hline
V$_{8}$ & 	& $\times$ &	& $\times$ &$\times$ &	&	&	&	& \\ \hline
V$_{9}$ & 	&	&	&$\times$&	&	&	&	&	&$\times$ \\ \hline
V$_{10}$ &$\times$&	&	&	&	&	&	&	& $\times$& \\ \hline
\end{tabular}\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Représenter par son graphe G la situation
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Trouver un sous-graphe complet d'ordre 4 et le dessiner.
		\item Que peut-on en déduire pour la coloration du graphe G ?\\
Quel est le nombre minimum de parterres que le jardinier doit décorer ?
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Classer les sommets de G par ordre de degré décroissant.
		\item En déduire un encadrement de $C$, nombre chromatique de G.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Procéder à la coloration du graphe G.
		\item Que peut-on en déduire pour le nombre $C$ ? Justifier avec soin.
		\item Proposer un ensemble de parterres avec une répartition adaptée des variétés de fleurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.

\medskip

\textbf{Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix}\\
\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à } 0.

\medskip

\begin{tabular}{|*{2}{p{6cm}|}}\hline
\multicolumn{1}{|c}{\textbf{Question}}& \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Réponse}}\\ \hline
\textbf{1.} Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle  admet pour asymptote la droite d'équation $y = 0$ ?	& \setlength\parindent{5mm}\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty$
\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$
\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}  \\  \hline
\textbf{2.} Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que l'inéquation $\ln (2x + 1) \geqslant \ln (x + 3)$ admet l'intervalle $[2~;~+\infty[$ comme ensemble de solution ? &\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la fonction ln est positive sur $[1~;~+\infty[$
\item[$\bullet~$] $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty$
\item[$\bullet~$] la fonction ln est croissante sur $]0~;~+\infty[$
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
\textbf{3.} Parmi les propositions suivantes quelle est celle qui permet d'affirmer qu'une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $x \mapsto (x + 1)\text{e}^x$ est la fonction $g~:~x~ \mapsto~ x~ \text{e}^x$~ ? &\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] pour tout réel $x,~f'(x) = g(x)$
\item[$\bullet~$] pour tout réel $x,~g'(x) = f(x)$
\item[$\bullet~$] pour tout réel $x,~g(x) = f'(x) + k,~k$ réel quelconque.
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}   \\  \hline
\textbf{4.} L'équation $2\text{e}^{2x} - 3\text{e}^x + 1 = 0$ admet pour ensemble solution&\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$\left\{\dfrac{1}{2}~;~1\right\}$
\item[$\bullet~$]$\left\{0~;~\ln \dfrac{1}{2}\right\}$
\item[$\bullet~$]$\{0~;~\ln 2\}$
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\  \hline
\textbf{5.} Pour tout $n \in \N$,&\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = 1$
\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = + \infty$
\item[$\bullet~$]$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} = 0$
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
\textbf{6.} Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par$f(x) = 2\ln x - 3x + 4$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :&\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$y = - x + 2$
\item[$\bullet~$]$y = x + 2$
\item[$\bullet~$]$y = - x - 2$
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
\textbf{7.} La valeur moyenne sur [1 ; 3] de la fonction $f$ définie par : $f(x) = x^2 + 2x$ est : &\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$\dfrac{50}{3}$
\item[$\bullet~$]$\dfrac{25}{3}$
\item[$\bullet~$]$6$
\end{itemize}\setlength\parindent{5mm}\\ \hline
\textbf{8.} exp$(\ln x) = x$ pour tout $x$ appartenant à &\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\R$
\item[$\bullet~$]$]0~;~+ \infty[$
\item[$\bullet~$]$[0~;~+\infty[$
\end{itemize}\setlength\parindent{0mm}\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit $x$ le prix unitaire en centaines d'euros de cette console. La fonction d'offre des fournisseurs (en milliers de console) est la fonction $f$  définie sur ]0~;~6] par 

\[f(x) = 0,7 \text{e}^{0,5x + 2}\]

où $f(x)$ est  la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix unitaire de $x$.

La fonction de demande des consommateurs (en milliers de console) est la fonction $g$ définie sur ]0~;~6] par 

\[g(x) = 10 \ln \left(\dfrac{20}{x}\right) \]

où $g(x)$ est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de~$x$.

\begin{enumerate}
\item Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère \Oij{} orthogonal fourni en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item Identifier les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sur la feuille annexe. Expliquez votre choix.
		\item Que représente le point A d'un point de vue économique ? Lire ses coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.

On pose, pour tout $x$ appartenant à ]0 ; 6],~$h(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $h'(x) = 0,35\text{e}^{0,5x + 2} + \dfrac{10}{x}$.
		\item Étudier le signe de la dérivée $h'$ et en déduire le sens de variations de $h$.
		\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle $[2~;~3]$.
		
Déterminer alors la valeur arrondie au dixième de $x_{0}$ à l'aide de la calculatrice.
		\item En déduire le prix unitaire d'équilibre de cette console  en euros et le nombre de consoles disponibles à ce prix (arrondir à la centaine).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\emph{La question} 3 \emph{est indépendante de la question} 2.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Surplus des fournisseurs

On prendra dans cette question $x_{0} = 2,7$ et $y_{0} = 20$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle ]0 ; 6].
		\item On appelle surplus des fournisseurs le nombre $S =  x_{0}y_{0} - \displaystyle\int_{0}^{x_{0}} f(x) \:\text{d}x$.
		
Ce nombre représente une aire.

Représenter cette aire sur le graphique de la feuille annexe.

Calculer $S$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à agrafer avec la copie}

\vspace{2cm}
Exercice 4

\vspace{2cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(6,110)
\multido{\r=0+0.25}{25}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\r,0)(\r,110)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(6,110)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{6}{2.71828 0.5 x mul 2 add exp 0.7 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0.01}{6}{20 x div ln 10 mul}
\uput[u](2.7,20){{A}} \uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,105){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
%Tapuscrit : JP Spriet}}
\end{document} 