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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d'euros.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 							&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008\\ \hline 
Rang de l'année :$x_{i}\quad   1 
\leqslant i \leqslant 8$  		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline 
Chiffre d'affaires du commerce
 équitable en millions d'euros
  : $y_{i} \quad  1 \leqslant 
  i \leqslant 8$ 				&12 	&21 	&37 	&70 	&120 	&166 	&210 	&256\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize (Source : \emph{M. H. leader du commerce équitable mondial})}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d'affaires de 447~milliards d'euros. (Source : INSEE). En 2007, quelle est la part du chiffre d'affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail ? (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,001\,\%). 
		\item Calculer le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires du commerce équitable en France entre 2005 et 2008 (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1\,\%).

\bigskip
	\end{enumerate}

\emph{Dans la suite de l'exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de $2007$.}	 
\item  Ajustement affine 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$
		
$(1 \leqslant i \leqslant 8)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm pour une année en abscisse et 1~cm pour 20~millions d'euros en ordonnée ; l'origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré). 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite D dans le repère précédent. 
		\item En utilisant cet ajustement affine, à partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?
	\end{enumerate} 
\item  Ajustement parabolique

\medskip
 
\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
L'allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique.
 
On propose d'ajuster le nuage par la parabole $P$ d'équation $y = 3x^2 + 7x - 4,\: x$ étant un nombre réel supérieur ou égal à 1.
 
En utilisant cet ajustement, en quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip
 
Le comité d'entreprise d'une société parisienne souhaite organiser un week-end en province. 

Une enquête est faite auprès des \np{1200}~employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l'avion ou l'autocar).

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Les résultats de l'enquête auprès des employés de l'entreprise sont répertoriés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Train	& Avion	& Autocar	& Total\\ \hline 
Femme 					&468 	&196 	&56 		&720\\ \hline 
Homme 					&150 	&266 	&64 		&480\\ \hline  
Total 					&618 	&462 	&120		&\np{1200}\\ \hline
\end{tabularx} 

\end{center}
\medskip

On interroge au hasard un employé de cette entreprise (on suppose que tous les employés ont la même chance d'être interrogés).
 
On note :

\begin{description}
\item[ ] $F$ l'évènement : \og l'employé est une femme\fg ;
\item[ ] $T$ l'évènement : \og l'employé choisit le train \fg.
\end{description}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(F)$, $p(T)$ puis déterminer la probabilité que l'employé ne choisisse pas le train (on donnera les résultats sous forme décimale). 
\item Expliquer ce que représente l'évènement $F~\cap~T$, puis calculer sa probabilité.
 
Les évènements $T$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item L'employé interrogé au hasard ne choisit pas le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme (on donnera le résultat arrondi au millième).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Après l'étude des résultats de l'enquête, le comité d'entreprise choisit le train comme moyen de transport. Pour les employés inscrits à ce voyage, deux formules sont proposées :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la formule \no 1 : voyage en 1\up{e} classe plus hôtel pour un coût de 150~\euro{} ;
\item[$\bullet~$] la formule \no 2 : voyage en 2\up{e} classe plus hôtel pour un coût de 100~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

40\,\% des employés inscrits choisissent la formule \no 1.
 
Le comité d'entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30~\euro. Indépendamment de la formule choisie, 80\,\% des employés inscrits choisissent l'excursion facultative. 

On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $U$ l'évènement : \og l'employé inscrit choisit la formule \no 1 \fg ;
\item[$\bullet~$] $D$ l'évènement : \og l'employé inscrit choisit la formule \no 2 \fg ;
\item[$\bullet~$] $E$ l'évènement : \og l'employé inscrit choisit l'excursion facultative \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 
\item Montrer que la probabilité que l'employé inscrit choisisse la formule \no 2 et l'excursion facultative est égale à $0,48$. 
\item Soit $C$ le coût total du voyage (excursion comprise). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre $C$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $C$. 
		\item Calculer l'espérance de cette loi. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\bigskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $0,75$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie sur $]- \infty~;~0[~\cup~]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 2x + 1 + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}.\] 

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]- \infty~;~0[~\cup~]0~;~+ \infty[$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
 
Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
%\psgrid
\psframe(12,3.5)
\psline(0,3)(12,3) \psline(2,0)(2,3.5)\psline[doubleline=true](7,0)(7,3) 
\uput[u](1,3){$x$}  \uput[u](2.3,3){$- \infty$}\uput[u](4.5,3){$- \ln 2$}
\uput[u](7,3){$0$}\uput[u](9.5,3){$\ln 2$}\uput[u](11.6,3){$+ \infty$}
\rput(1,2.){Variations}\rput(1,1.){de $f$}
\uput[u](2.3,0){$- \infty$}\uput[u](6.6,0){$- \infty$}
 \uput[d](7.4,3){$+ \infty$}
\uput[u](9.5,0){$2\ln 2 + 3$}
\uput[d](11.6,3){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,0.4)(4.3,2.6)\psline{->}(4.7,2.6)(6.3,0.4)
\psline{->}(7.7,2.6)(9.3,0.6) \psline{->}(9.7,0.6)(11.3,2.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'équation $f(x) = \text{e}^2$ admet :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
aucune solution& 	 une unique solution&  deux solutions
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln (1,5)$ admet un coefficient directeur :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}  
strictement positif& 	strictement négatif& nul\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item  $f\left[- \ln (2)\right]$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$- 2 \ln (2) + 3$ & $\ln \left(\dfrac{1}{4}\right)$ & $- 2\ln (2) + 1$\\
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item  La courbe $\mathcal{C}$ admet au voisinage de $+ \infty$ une asymptote d'équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$y = 2x + 2$& 	 $y = 2x+1$&  $x = 0$\\
\end{tabularx}
\medskip   
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par

\[f(x) = ax + b - \dfrac{16}{x}~ \text{où}~ a~ \text{et}~ b~ \text{sont~
des nombres réels.}\]
 
On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6] et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.
 
La courbe représentative de $f$, donnée en annexe, coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et 4 et admet une tangente horizontale au point A de coordonnées (2~;~4).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1),~f(2),~f(4)$ et $f'(2)$. 
		\item En utilisant deux des quatre résultats de la question 1. a., déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur [1~;~6] par 

\[f(x) = - 4x + 20 - \dfrac{16}{x}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6]. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] en précisant uniquement les valeurs de $f(1),~f(2)$ et $f(4)$. 
		\item  En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~6].
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par 

\[F(x) = - 2x^2 + 20x - 18 - 16 \ln x. \]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est la primitive de la fonction $f$ sur [1~;~6] telle que $F(1)~=~0$.
		 
		\item En utilisant les résultats des questions précédentes, dresser le tableau de variations de la fonction $F$ sur l'intervalle [1~;~6], les valeurs seront arrondies au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des pièces pour assemblage de moteurs qu'elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 et 600~pièces. L'objectif est d'étudier le bénéfice quotidien réalisé par cette entreprise.

\medskip
 
Une étude a montré que le bénéfice marginal quotidien de cette entreprise est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, appelée fonction \og bénéfice marginal \fg. Pour $x$ compris entre 1 et 6, $x$ est exprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et $f(x)$ est exprimé en milliers d'euros.

\medskip
 
En économie, la fonction \og bénéfice marginal \fg{} est considérée comme la dérivée d'une fonction appelée fonction \og bénéfice \fg. 

On sait de plus que le bénéfice de l'entreprise est nul pour la fabrication et la vente quotidienne de 100~pièces.

\medskip
 
\emph{Dans ces questions toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. En déduire le bénéficie maximal (on donnera ce bénéfice maximal arrondi à l'unité d'euro). 
\item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice supérieur à \np{3000}~\euro{} (on donnera le résultat arrondi à l'unité) 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{0.75cm}

\textbf{Exercice 4}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.4cm}

\begin{pspicture}(-0.5,-7.5)(6.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-7.5)(6.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[u](2,4){A}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4)(0,4)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{6}{20 4 x mul sub 16 x div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}