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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane  septembre 2006 \decofourright}}
 \end{center}
\parindent=0cm
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point, L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{9.5cm}|X|} \hline
\textbf{QUESTIONS} 	&	\textbf{RÉPONSES}   \\  \hline
\textbf{1.}  L'ensemble des solutions de l'équation	 $\ln \left(x^2
\right) = 2$ est \ldots  & $\Box~\{\text{e}\}$

$\Box~\{-2~;~2\}$

$\Box~\{-\text{e}~;~\text{e}\}$\\ \hline
\textbf{2.} $\text{exp} (2x - 6)$ est égal à \ldots	&$\Box~\text{e}^{2x} - \text{e}^6$

$\Box~\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^6}$

$\Box~\left(\text{e}^{x-3}\right)^2 $\\ \hline
\textbf{3.}  L'ensemble des solutions de l'inéquation 	

$- 1< \text{e}^x < 9$ est \ldots&$\Box~]0~;~\ln 9[$

$\Box~]- \infty~;~2\ln 3[$

$\Box~\left]\text{e}^{-1}~;~\text{e}^9\right[$\\ \hline
\textbf{4.} Si $\displaystyle\int_{0}^5  f(x)\:\text{d}x = 1,9$ et $\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = - 0,9$,  alors  $\displaystyle\int_{2}^5  f(x)\:\text{d}x = \ldots$&$\Box~ 1$

$\Box~- 2,8$

$\Box~2,8$\\ \hline
\textbf{5.} La valeur	moyenne de la fonction  $f : x \mapsto \dfrac{1}{(x + 1)}$ sur [0 ; 4] est égale à \ldots&$\Box~\dfrac{1}{2}\ln 2$

$\Box~\dfrac{1}{4}\ln 5$

$\Box~\ln 4$\\ \hline
\textbf{6.} Laquelle de ces limites est exacte ?&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{2}{\text{e}^x}\right) = - \infty$

$\Box~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^x = - \infty$

$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\Box~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 1$\\ \hline
\textbf{7.} Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total.
Si le coût marginal est $C_{m}(q) = \dfrac{6 + 6\ln q}{q}$
exprimé en milliers d'euros pour $q > 0$, alors le coût total exprimé en milliers d'euros est égal à &$\Box~\text{C}_{\text{T}}(q) = 3 \ln q(2 + \ln q)$

$\Box~\text{C}_{\text{T}}(q) = \dfrac{- 6\ln q}{q^2}$

$\Box~\text{C}_{\text{T}}(q) = 6 \ln q + 3\ln \left(q^2\right)$\\ \hline
\textbf{8.}  Si $f$ est la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par : $f(x) = 2\ln x - 3x + 5$, alors dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse 1 est \ldots &$\Box~y = - x + 2$

$\Box~y = - x + 3$

$\Box~y = - 3x - 2$\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A :  UTILISATION D'UN GRAPHIQUE}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{g}$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) représente, dans
un repère du plan, une partie de la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{a}{\text{e}^{bx} + 1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

 Soient A et B les points de coordonnées respectives A(0~;~6) et B(4~;~0).
\begin{enumerate}
\item  Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe au point A, déterminer $g(0)$, puis $g'(0)$.
\item  Exprimer en fonction de $a$ et $b$ la dérivée $g'(x)$. 
\item  À l'aide des résultats précédents prouver que $a = 12$ et $b = 0,5$. 
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{PARTIE B : ÉTUDE DE FONCTIONS}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On donne $f(x) = \text{e}^{0,5x}  - 1$pour tout réel $x$ dans $[0~;~+\infty[$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f0)$, puis étudier la limite de $f$ en  $+ \infty$.
		\item Étudier le sens de variations de $f$, puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Tracer, sur le graphique en annexe, la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item  On rappelle que $g(x) =	\dfrac{12}{\text{e}^{0,5x}  + 1}$ et on admet que l'équation $f(x) = g(x)$ admet une solution unique $p$ sur  $[0~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la valeur exacte de $p$. Contr\^oler graphiquement ce résultat.
		\item  En déduire la valeur exacte de $n = f(p)$.
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\ln 13} f(x)\:\text{d}x$ ; que représente graphiquement cette intégrale ? Le préciser sur le graphique. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{PARTIE C : INTERPRÉTATION ÉCONOMIQUE}
 
\medskip
 
Pour un prix de vente unitaire $x$, exprimé en centaines d'euros, $f(x)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, proposés sur le marché et $g(x)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, que les consommateurs sont prêts à acheter. 

La fonction $f$ est appelée fonction d'offre et la fonction $g$ fonction de demande.

À l'aide des calculs réalisés dans la partie B, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est le prix d'équilibre arrondi à $1$ euro ?
\item  On appelle rente du producteur le nombre R $= np - \displaystyle\int_{0}^p f(x)\:\text{d}x$
($n$ et $p$ étant définis en B 2 ).

Calculer la valeur exacte de R, puis son approximation décimale arrondie à la centaine d'euros.
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe}
 
\vspace{1cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.6666cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.3333,-1)(5.6666,12)

\multido{\r=-0.3333+0.16665}{37}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan,linewidth=0.2pt](\r,-1)(\r,12)}
\multido{\r=-1.0+0.5}{27}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan,linewidth=0.2pt](-0.3333,\r)(5.6666,\r)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(5.6666,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,6)(4,0)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.6666}{12 2.71828 0.5 x mul exp 1 add div}
\uput[ur](0,6){A} \uput[ur](4,0){B} 
\uput[u](5,1){\blue $\mathcal{C}_{g}$} \uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Une bibliothécaire a constaté que

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Lorsqu'un étudiant choisit un livre, ce livre est une bande dessinée avec une probabilité égale à $0,3$ ou un roman une fois sur cinq ; sinon c'est un livre de cours. 
\item  Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux. 
\item  La probabilité qu'il emprunte à la fois une bande dessinée et un magazine est $0,24$. 
\item  Lorsqu'il prend un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  Un étudiant entre dans la bibliothèque. On notera B l'évènement \og il emprunte une bande dessinée \fg,

$R$ l'évènement \og il emprunte un roman \fg,

$C$ l'évènement \og il emprunte un livre de cours \fg,

$M$ l'évènement \og il emprunte un magazine \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 
		\item Calculer la probabilité qu'il choisisse un livre de cours.
		\item Calculer la probabilité qu'il emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée. 
		\item Calculer la probabilité qu'il reparte avec un magazine.
		\item Quelle est la probabilité qu'il emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine ?  Le résultat sera arrondi au millième.
	\end{enumerate}
\item  Trois étudiants sont entrés en même temps et choisissent, de manière indépendante, des ouvrages. On note $X$ le nombre total de magazines qu'ils empruntent. On suppose dans cette question que $p(M) = 0,34$ où $M$ est l'évènement défini dans la question 1. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun.
		\item  Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ? 
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$ ; on présentera les résultats sous forme d'un tableau. 

\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}
 
\[\begin{array}{c|c}\hline
x_{i}&\rule{15mm}{0mm} \\ \hline
p\left(X = x_{i}\right)&\\
\end{array} \]
\item  Calculer l'espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en
donner ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
Une entreprise a créé un site internet et a noté sa fréquentation chaque mois pendant six mois.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ rang du mois		&1	&2	&3	&4	&5	&6\\  \hline
$y_{i}$ nombre de visiteurs	&15	&32	&60	&125&	&491\\  \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate}
\item  Quel est le pourcentage d'augmentation de la fréquence de visite de ce site entre les mois 2 et 3 ?
\item  Quel est le nombre de visiteurs le cinquième mois sachant qu'il y a eu une moyenne de $157$ personnes sur les six premiers mois ?
\item  Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan (unités graphiques : 2~cm pour un mois en abscisse et 2~cm pour 100 personnes en ordonnée).
\item  On veut estimer le nombre de visiteurs au 10\up{e} 	mois d'existence de
ce site.
	\begin{enumerate}
		\item  Un ajustement affine est-il indiqué ? Justifier votre réponse.
		\item  On note $z_{i} =  \ln \left(\dfrac{y_{i}}{10}\right)$.
		
Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

\emph{ Les résultats seront arrondis au millième.}
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1	&2	&3	&4	&5		&6\\ \hline
$z_{i}$	&	&	&	&	&$3,086$& \\ \hline
\end{tabularx}\]
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenu, par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}),
		\item   En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \times  \text{e}^{px}$.  Les réels $k$ et $p$ seront arrondis au centième
		\item Combien 	de visiteurs peut-on espérer le 10\up{e} mois en utilisant ce modèle ? Qu'en pensez-vous ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Sur une population donnée, abonnée à deux opérateurs téléphoniques A et B, on considère que, chaque année, 40\,\% des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10\,\% des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. On néglige les nouveaux abonnés.

On suppose de plus qu'en 2005, 25\,\% 
de cette population est abonnée à l'opérateur A.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
En déduire la matrice de transition, notée M. 
\item  On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur A l'année $2005 + n$
\item[$\bullet~$]  $b_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur B l'année $2005 + n$
\item[$\bullet~$]  E$_{n}$ la matrice $(a_{n}\quad  b_{n})$, correspondant à l'état probabiliste l'année $2005 +n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  Préciser E$_{0}$. 
		\item  Calculer E$_{1}$ en faisant appara\^{\i}tre vos calculs. 
		\item  Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2013.
		
\emph{On pourra utiliser la  calculatrice et on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.}
		\item  Soit E la matrice $(a \quad  b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels positifs tels que $a + b = 1$.

Déterminer $a$ et $b$ tels que E =  E~$\times$~ M. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $a_{n+1} = 0,5a_{n} + 0,1$.
\item  On pose, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = a_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item  En déduire l'expression  de $u_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction  de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que retrouve-t-on ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}