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%%% Mille remerciements à Philippe Camus pour la surface  %%%
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles--Guyane septembre 2007},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

Barème : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $F :  x \longmapsto  \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) =	\dfrac{1}{2x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\
\end{tabularx}
\item  L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1  3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} 6(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}\text{e}$\\
\end{tabularx}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} (2~;~ 0)$&${\Huge \bullet~} (1~;~-1)$&${\Huge \bullet~} \left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\
\end{tabularx}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
${\Huge \bullet~} y = 0$	&${\Huge \bullet~} y = 2x - \ln 2$	&${\Huge \bullet~} y=2x$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année $a_{i}$		&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
Proportion $y_{i}$	&11,4	&19,6	&30,1	&37,6	&42,6	&45,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~ y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant
\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item  sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm,
\item  sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item  Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
	\end{enumerate}
\item  On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a -1950$ et $t = \ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$				&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$		&30		&		&		&		&		&\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$		&3,401	&		&		&		&		&\\ \hline
$y_{i}$						&11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième.
		\item Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.
		\item En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$.
		\item Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à $1$\,\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?
		\item À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à $60$\,\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur $5$~dm (décimètres).

Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que
\[x \in ]0~;~20[ \quad \text{et} \quad  y \in ]0~;~20[.\]
La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux $12$ arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de $0,8$~euro le dm.

Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On décide d'investir exactement $80$~euros pour la construction du bâti métallique.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte

$x + y =  20$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en dm$^3$, de cet aquarium.
		\item 	En déduire le volume $V$ en fonction de $x$  sous la contrainte précédente.
 	\end{enumerate}
\item  On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$.
		\item En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$  et tout $y \in ]0 ~;~20[$ par :

\[g(x~;~y) = xy + 10(x+y).\]

On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle au plan $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que $g(x~;~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en dm$^2$, de la surface vitrée de l'aquarium.
\item  On suppose pour cette question que $x = 12.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
		\item Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre $400$ et $500$ dm$^2$.
		\item Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\]

dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité $2$~cm.
 
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
\uput[l](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe.
\item  On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x	- 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
		\item  Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer sur le graphique de la feuille annexe le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées.
		\item  Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête.

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg.
\item $A_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $\overline{A_{1}}$  et $\overline{A_{2}}$ les évènements contraires des évènements $A_{1}$ et $A_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ? 
		\item  Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?
	 \end{enumerate}
\item  Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}2$ ;	s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Illustrer cette situation par un arbre pondéré. 
		\item  Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$.
		\item  Calculer $P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right)$ ;  en déduire $P\left(A_{2}\right)$.
		\item  L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?
	 \end{enumerate}
\item Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.
		\item  Déterminer la durée moyenne du trajet.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$			&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$	&30		&		&		&		&		&\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$	&3,401	&		&		&		&		&\\ \hline
$y_{i}$					&11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
\uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

Spécialité ES\hfill{}Antilles Guyane Septembre 2007

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(30,24)
%\SpecialCoor
\psset{Beta=12,Alpha=165}
%\psset{Beta=90,Alpha=180}% pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false] 
%la boîte
%à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y
\pstThreeDPut(10,0,-1){$y$} \pstThreeDPut(22,10,0){$x$}
\pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$}
\pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16)
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\z}}
\multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)}
\multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)}
%courbes de niveaux 
%z=0-100
\newgray{gris}{0.45}
\parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}}
%z>=100
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4)
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)
\pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4)
\pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
}
%z>=200
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4}
}
%z>=300
\newgray{gris}{0.65}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6}
}
%z>=400
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8}
}
%z>=500
\newgray{gris}{0.3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t  500 t 10 mul sub t 10 add div 10}
}
%z>=600
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12}
}
%z>=700
\newgray{gris}{0.75}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14}
}
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul  x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre 
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](25.5,6)(29.8,14)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,6.5)(26,6.8)  \rput[l](26.5,6.65){0-100}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,7.5)(26,7.8)  \rput[l](26.5,7.65){100-200}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,8.5)(26,8.8)  \rput[l](26.5,8.65){200-300}
\newgray{gris}{0.65}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,9.5)(26,9.8)  \rput[l](26.5,9.65){300-400}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,10.5)(26,10.8)  \rput[l](26.5,10.65){400-500}
\newgray{gris}{0.3}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,11.5)(26,11.8)  \rput[l](26.5,11.65){500-600}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,12.5)(26,12.8)  \rput[l](26.5,12.65){600-700}
\newgray{gris}{0.75}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,13.5)(26,13.8)  \rput[l](26.5,13.65){700-800}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}