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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small  septembre 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1995~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne, en fonction de l'année, le montant des prêts d'aide, à l'accession à la propriété (les PAP) en milliers de francs.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c |*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline\hline
Année 			&1982 &1983 &1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline 
Rang : $x_{i}$	&1 	&2 &3 	&4 	&5 	&6 	&7 		&8 	&9 	&10\\ \hline  
PAP : $y_{i}$	&127&115 	&113 &93&86 &78,1&60 	&48 &38 &33\\ \hline  
\multicolumn{11}{r}{\small (Source: ministère de l'Équipement, du Logement et des Transports)}\\
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. On prendra 1~cm pour un rang sur l'axe des abscisses et 1~cm pour \np{10000}~F sur l'axe des ordonnées.
 
Ce nuage permet-il d'envisager un ajustement linéaire? 
\item Le détail des calculs n'est pas demandé et les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Interpréter le résultat trouvé. 
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite dans le repère 
précédent.
	\end{enumerate} 
\item Si la progression se poursuivait dans les mêmes conditions, à partir de quelle année le montant des prêts PAP deviendrait-il nul ?
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 3x^2 - 5x - 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$. 
		\item Pour quelle valeur de $x$, $f$ admet-elle un minimum ? 
		
Quelle est la valeur minimale de $f(x)$ ? 
		\item Tracer la courbe représentative $C$ de $f$ dans un repère orthogonal  
\Oij. (unités : 3~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée.) 
	\end{enumerate}
\item On pose $b(x) = 	\dfrac{1}{3x^2 - 5x - 2}$	 avec $x \in  [0~;~2[$.  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2\\x < 2}} b(x)$. 
		\item Étudier les variations de $b$ sur l'intervalle $I = [0~;~2[$. 
		\item Tracer la courbe représentative $C'$ de $b$ dans le même repère que $C$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un dé cubique A porte inscrits sur ses faces les nombres : $- 2,\: 1,\: 1,\: 1,\: 2n,\: - n$ (où $n$ est un entier relatif). 

On suppose qu'à chaque lancer, les faces de A ont la même probabilité d'apparition.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On lance une fois le dé A et on note $X$ le nombre obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire.
 
Déterminer la loi de probabilité de $X$ : 
	\begin{enumerate}
		\item lorsque $n = 3$. 
		\item lorsque $n = - 1$ ; calculer alors l'espérance mathématique de $X$.
		 
\hspace{-1.25cm}\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera à $n$ la valeur $- 1$.}
	\end{enumerate} 
\item On lance A, 6 fois de suite. Déterminer la probabilité d'obtenir 4 fois exactement le nombre $1$.
\end{enumerate}
 
\bigskip 
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit B un autre dé cubique dont les faces portent les nombres $-3,\: -2,\: - 1,\: 1,\:2,\:3,$ de telle sorte que les probabilités d'apparition respectives de ces nombres soient six termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 
$\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $p(-3)$, probabilité d'apparition de la face portant le nombre $- 3$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité d'apparition de chacune des faces de B. 
\item On lance le dé A puis de façon indépendante le dé B.
 
Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à $- 1$ ?
\end{enumerate}
 
\textbf{N. B.} : On donnera les résultats sous forme fractionnaire. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip 

Une entreprise fabrique un solvant pour peinture. On désigne par $x$ le nombre de m$^3$ de solvant produits chaque jour ; $x \in [1~;~6]$. Le coût total de production de ces $x$ mètres cubes, en milliers de francs (kF) est : 

\[C_{t}(x) = \dfrac{x^2}{4} + 2,8 + 2\ln x.\]
 
On cherche à déterminer le prix de vente pour que l'entreprise fasse des bénéfices.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Étude de la fonction \og coût total \og}{}\: \boldmath $C_{t}$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $C_{t}$ sur [1~;~6]. (Ces variations pourront être  
déduites de celles des fonctions $x \longmapsto \dfrac{x^2}{4}+ 2,8$ et $x \longmapsto  2\ln x$). 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$						& 1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4 &4,5 &5 &5,5 &6 \\ \hline
$C_{t}(x)$ à $10^{-1}$ près&&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip		

		\item Tracer dans un repère \Oij{} la représentation graphique $C$ de la 
fonction $C_{t}$ (unités : 2~cm pour 1 m$^3$ et 1~cm pour 1~kF). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Étude de la fonction \og coût moyen \fg{}} \boldmath $C_{m}$ \unboldmath

\medskip
 
Pour une production journalière de $x$ mètres cubes, le coût moyen de production en milliers de francs de 1 m$^3$ est 

\[C_{m}(x) = \dfrac{C_{t}(x)}{x}.\] 

\begin{enumerate}
\item Écrire $C_{m}(x)$ en fonction de $x$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de [1~;~6], $C_{m}(x)$ a le même signe 
que 

$f(x) = x^2 - 3,2 - 8\ln x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur [1~;~6]. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans [1~;~6], puis déterminer une valeur approchée par excès de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

\medskip
		 
\emph{Dans la suite du problème, on utilisera cette valeur dans les calculs.} 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur [1~;~6].
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction Cm sur [1~;~6]. 
		\item Quel est le coût minimal de production de 1 m$^3$ de solvant? Pour quelle production ? 
		\item Comment faut-il choisir le prix de vente de 1 m$^3$ de solvant pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}