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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small septembre 1997}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill  5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = 1 - \text{e}^{2x}\]
 
et $f'$ sa fonction dérivée.
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans $\R$, par le calcul, résoudre les équations ou inéquations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  $f(x) ? 0~$ ; 
		\item  $f(x) = - 2$ ; 
		\item  $f(x) = - 1$.
	\end{enumerate}
\item étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 
	
En déduire l'équation d'une asymptote horizontale s'il y a lieu.
\item étudier les variations de $f$ sur $\R$.
\item Calculer $\displaystyle\int_{- 3}^{- 1}  f(x)\:\text{d}x.$ 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill  4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de touristes (en dizaines de
milliers) d'un département français entre 1991 et 1996.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l| *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 									&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$		&1		&	2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Nombre de touristes 
$y_{i}$								&7,3		&5,9		&5,2		&5,1		&5,3		& 6,1\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Le nuage de points associé à cette série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est
donné sur le graphique suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6.5,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-1)(7,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-1)(6.5,8)
\rput(0,-0.5){0} \rput(1,-0.5){1} \rput(-0.2,1){1} \rput(-0.2,7.8){$y$}
\rput(6.5,-0.5){$x$}
\psdots(1,7.3)(2,5.9)(3,5.2)(4,5.1)(5,5.3)(6,6.1)
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ est environ égal à $- 0,5$.

 Est-ce en accord avec le graphique ? (justifier votre réponse). 
\item Afin d'effectuer un ajustement à l'aide d'une parabole on effectue le changement de variable $t_{i} = \left(x_{i} - 4\right)^2$.
  
Présenter dans un tableau la nouvelle série $\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$ et calculer son
coefficient de corrélation linéaire $r$ à $10^{-3}$ près. 
  
Qu'en déduisez-vous ? 
\item Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $t$. On donnera les résultats à $10^{-2}$ près par excès.
\item Si la tendance ne change pas, effectuer une prévision pour 1998.
\item À l'aide de l'équation 3, trouver un ajustement de la forme $y = ax^2 + bx + c$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill  4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

À partir de l'année 1990, Pierre verse au le 1\up{er} janvier de chaque
année \np{9000}~F sur un compte rémunéré à un taux annuel de 6\:\%
À intérêts composés. Ainsi, chaque 1\up{er} janvier, on ajoute
\np{9000}~F au capital déjà acquis.

On note $u_{n}$ le capital disponible à partir du 1\up{er} janvier de l'année 1990 + $n$, ainsi $u_{0} = \np{9000}$. 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_{1} = \np{18540}$ et que $u_{n+1} = 1,06 u_{n} + \np{9000}$. 
\item Soit la suite auxiliaire $(v_{n})$ telle que $v_{n} =  u_{n} + \np{150000}.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$ et $v_{1}$.
		\item Montrer que $v_{n+1} = 1,06 v_{n}$~; en déduire la nature de la
suite $(v_{n}$).
		\item Donner l'expression de $v_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction  de $n$.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année Pierre disposera-t-il de plus de \np{200000}~F?
(On pourra utiliser la fonction logarithme népérien).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill  12 points}

\medskip

On donne à la page suivante dans un repère orthonormé \Oij{} les courbes représentatives $(C_f),\:(C_{f'}),\:(C_g)$ pour $x > 0$ de trois fonctions $f,\: f'$ et $g$. 

\medskip

\textbf{ Partie A : étude de } \boldmath $f$ \unboldmath
\medskip

 La fonction $f$ est définie Sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{x+2}}{(x+2)^2}.\]

\begin{enumerate}
\item étudier la limite de $f$ en +$\infty$.~(On pourra poser $X = x + 2$).
\item $f'$ étant la fonction dérivée de 
$f$, montrer que $f'(x) =  \dfrac{x\text{e}^{x + 2}}{(x + 2)^3}$.
\item Donner le tableau de variation de $f$. 
\item Montrer que l'aire de la portion de plan
comprise entre la courbe $(C_{f'})$ l'axe des abscisses et les droites d'équation 
$x = 2$ et $x = 4$ est égale à $\dfrac{\text{e}^4}{144}\left(4\text{e}^2 - 9\right)$ en unités d'aire.
\end{enumerate}

\textbf{ Partie B Coût marginal et bénéfice}

\medskip

Une entreprise constate que pour une quantité $x$ d'un article A (en milliers
d'articles) le coût total $C_T$ (en milliers de francs) peut être évalué par
$C_T(x) = f(x)$ pour $x$ appartenant à [1~;~5].

Le coût marginal $C_m$ est alors défini pour tout $x$ appartenant à [1~;~5]
par $C_m(x) = f'(x)$.
 
On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ sur l'intervalle [1~;~5].
  
On admettra que, $f''(x) = \dfrac{x^2 + 2}{(x + 2)^4}\text{e}^{x + 2}$
  \medskip
  
\begin{enumerate}
\item étudier le signe de $f''$ et en déduire le tableau de variations de $f'$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f'(x) = 4$
admet une solution unique $\alpha$ dans  l'intervalle [1~;~5].
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$  à $10^{-2}$ 
près par défaut.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) \geqslant 4$ sur l'intervalle [1~;~5] puis donner sous forme d'un tableau le signe de $4 - f'(x)$. 
\item Le prix de vente d'un article est 4 francs.
Soit $B(x)$ le bénéfice correspondant À $x$ milliers d'articles vendus. On a donc $B(x) = 4x - f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item établir le tableau de variation de $B$.
		\item En déduire une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $x$ pour lequel le bénéfice est maximum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\textbf{ Partie C Coût moyen}
\medskip

Si $x$ est le nombre de milliers d'articles, on note $g$, la fonction 
définie sur [1~;~5] par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$.

Cela représente donc le coût moyen d'un article. Les courbes $(C_g)$ et 
$(C_{f'})$ sont sécantes en un point $I$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $I$ a pour abscisse 2.
Graphiquement, que représente l'ordonnée de  $I$ pour la fonction $g$ ?
\item Soit $J$ le point de la courbe de $(C_f)$
de même abscisse que $I$. 
Déterminer l'équation de la tangente $(\Delta)$ en $J$ à $(C_f)$ et vérifier 
que $(\Delta)$ passe par l'origine du repère.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.6)(7,10.1)
\psaxes[dy=5\psyunit,Dy=5,dx=5\psxunit,Dx=5]{->}(7,10.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(1,1)
{\pscurve(0,1.847)(0.5,1.949)(1,2.232)(1.5,2.703)(2,3.412)(2.5,4.45)(3,5.937)
(3.8,9.819)}
{\pscurve(0,0)(0.5,0.39)(1,0.744)(1.5,1.159)(2,1.706)(2.5,2.47)(3,3.562)(3.5,5.148)
(4,7.47)(4.5,10.899)}
{\pscurve(0.17,10.94)(0.25,7.496)(0.5,3.898)(1,2.232)(1.5,1.802)(2,1.706)(2.5,1.778)(3,1.979)
(3.5,2.311)(4,2.802)(4.5,3.498)(5,4.476)(5.5,5.844)(6,7.763)(6.5,10.465)}
\rput(2,1.1){($\mathcal{C}_{f'}$)}
\rput(5.5,5){($\mathcal{C}_{g}$)}
\rput(2.5,6){($\mathcal{C}_{f}$)}
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)
\rput(0.5,-0.4){$\vect{\imath}$}
\rput(-0.4,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}