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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES septembre 2002}
\lfoot{\small{Antilles -- Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Antilles--Guyane  septembre 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une étude réalisée sur tous les étudiants d'une université a permis d'établir que 
$30\,\%$ des étudiants possèdent un ordinateur personnel. Parmi
les étudiants possédant un ordinateur, $18\,\%$ possèdent une automobile.

On sait aussi que $25\,\%$ des étudiants de l'université ne possèdent pas
d'automobile.

On choisit au hasard un étudiant de cette université.

On note :

\begin{itemize}
\item  $O$ l'évènement : \og L'étudiant possède un ordinateur \fg{} ;
\item  $A$ l'évènement : \og L'étudiant possède une automobile \fg{} ;
\item  $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$, ainsi $p(O) = 0,3$ ;
\item  $\overline{E}$ l'évènement contraire de l'évènement $E$ ;
\item  $p_{F}(E)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ par rapport à l'évènement $F$.
\end{itemize}

\textsl{Pour résoudre cet exercice, on pourra s'aider de la notion d'arbre pondéré.
Les résultats seront donnés en écriture décimale et arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item À l'aide de l'énoncé, préciser : $p_{O}$(A) et $p(\overline{A})$.

\item On choisit au hasard un étudiant de cette université.
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer la probabilité de l'évènement \og L'étudiant possède un ordinateur et une automobile \fg.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og L'étudiant possède un ordinateur mais pas d'automobile \fg{} est égale à $0,246$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og L'étudiant ne possède ni ordinateur ni automobile \fg.
		\item Calculer la probabilité que l'étudiant possède un ordinateur, sachant qu'il n'a pas d'automobile.
	\end{enumerate}
\item On choisit trois étudiants au hasard, indépendamment les uns 
des autres.
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer la probabilité pour que les trois 
étudiants choisis possèdent tous un ordinateur.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins un des étudiants chosis possèdent un ordinateur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une situation de monopole sur la production d'un objet, une entreprise le conditionne et en fait la promotion.

Une statistique a été établie pour étudier la liaison entre production et coût de publicité.

Soit $q$ la quantité produite exprimée en centaines, $y$ la part du coût de publicité en pourcentage.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| p{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité $q_i$ (centaines)  & 1		&10 	&20 	&50 	&100 	&150 	&200 \\ \hline
Pourcentage $y_i$			&4,20	&3,70	&3,30	&2,30	&1,20 	&0,65 	&0,35\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Par exemple : Pour une production de $100$ objets le coût de publicité est de $4,2\,\%$ du coût total.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Ci-joint en annexe le nuage de points $\left(q_i~;~ y_i\right)$ qui sera rendu    avec la copie.
	\begin{enumerate}
		 \item L'équation de la droite de régression de $y$ en $q$ est  : $y = - 0,02q+ 3,71$ (admis).

Tracer cette droite de régression sur la feuille donnée en annexe représentant le nuage de points.
		\item Quelle serait la part du coût de la publicité à prévoir pour une production de \np{25000}~objets ?

Que pensez-vous de l'ajustement effectué à la question précédente ?
	\end{enumerate}

\item On considère un nouveau modèle en posant $z = \ln (100y)$.

	\begin{enumerate}
		 \item Dresser le tableau des valeurs $z_i$ correspondant aux valeurs $q_i$. 

		\textsl{Les valeurs de} $z_i$ \textsl{seront données sous forme décimale arrondie au centième le plus proche.}
		\item Représenter le nuage de points $\left(q_i~;~z_i\right)$ dans un repère (unités graphiques : 1~cm pour 10 centaines en abscisses, 2 cm pour une unité en ordonnées) sur une feuille de papier millimétré.
		\item Ce nuage de points montre qu'un ajustement affine est justifié.

Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $q$ de la forme $z = aq + b$ par la méthode des moindres carrés.

\textsl{Les calculs faits à l'aide d'une calculatrice ne seront pas justifiés. Les valeurs de} $a$ \textsl{et de} $b$ \textsl{seront données sous forme décimale arrondie au centième le plus proche.}
		\item Quelle serait la part du coût de la publicité à prévoir pour une production de \np{25000}~objets ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie}
    
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.0425cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(250,4.5)
\multido{\n=0+50}{6}{\psline(\n,0)(\n,4.5)}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,4.2)(10,3.7)(20,3.3)(50,2.3)(100,1.2)(150,1.65)(200,0.35)
\multido{\n=0+0.5}{10}{\psline(0,\n)(250,\n)}
\uput[d](210,-0.3){Quantité $q$ en centaines}
\rput{90}(-10,4){Pourcentage $y$}
\psaxes[Dx=50,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(250,4.5)
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un capital initial $c_0$ de $600$~euros est placé sur un compte rapportant $5\,\%$ d'intérêts annuels. On note $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ années ($n$ entier naturel).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le capital $c_{n + 1}$ en fonction de $c_n$.
		\item En déduire l'expression de $c_n$ en fonction de $n$.
		\item Trouver le nombre minimal d'années nécessaires pour que le capital ainsi placé ait au moins triplé.
	\end{enumerate}
\item  Un autre épargnant place également un capital initial de $600$~euros au taux annuel de $5\,\%$ d'intérêts, et fait un versement supplémentaire de $150$~euros à la fin de chaque année. On appelle $d_0$ le capital initial et  $d_n$ le capital ainsi acquis à la fin de la $n$-ième année.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d_1,\:d_2,\:d_3$.
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n,\: d_{n + 1} = 1,05 d_n + 150$.
		\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_n = d_n + \np{3000}$.

Calculer $v_0$ et $v_1$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 1,05$.

Écrire $v_n$ en fonction de $v_0$ et de $n$.
		\item En déduire $d_n$ en fonction de $n$.
		\item À partir de combien d'années le capital $d_n$ aura-t-il au moins triplé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~20]  par :

\[f(x) = 4 - 3\text{e}^{-2x} + 7x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est croissante sur [0~;~20].
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [0; 20].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur [0~;~20] par :

\[h(x) = 85 - 6\text{e}^{-2x} - 14x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que pour $x \geqslant 0$    on a $12\text{e}^{-2x} < 14$.
		\item En déduire le sens de variations de $h$ sur [0~;~20] et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet sur [0~;~20] une solution unique $\alpha$ et que $\alpha$ appartient à l'intervalle [6 ; 7].
\item Montrer qu'une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près est 6,07.

\textsl{Dans toute la suite du problème on prendra cette valeur pour $\alpha$.}
\item Déterminer le signe de $h(x)$ sur [0~;~20].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

$\star~$ \textbf{Application économique}

Dans une entreprise, le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euro, de $x$ centaines d'appareils est donné par :

\[C(x)= 4 - 3\text{e}^{-2x} + 7x2 \quad  \text{pour} \quad  x \in  [0~;20].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sachant qu'un appareil est vendu au prix unitaire de 850 euros, montrer que le bénéfice réalisé par l'entreprise pour $x$ centaines d'appareils  produits et vendus, exprimé en milliers d'euros, est donné par l'expression :

\[B(x) = 3\text{e}^{-2x} - 7x^2 + 85x - 4.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $B$ sur [0~;~20].
		\item Déterminez la quantité à produire et à vendre pour que l'entreprise  réalise un bénéfice maximal ; préciser cette quantité à l'unité près.
		\item Déterminez, à l'aide de la calculatrice, les quantités de pièces à produire et à vendre à l'unité près pour que l'entreprise ne travaille pas à perte (aucune autre justification n'est demandée).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}