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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles septembre 2003~ \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le but de cet exercice est l'étude d'une fonction définie partiellement par sa représentation graphique ; on considère la fonction $f$ définie sur
par :

\[f(x) = ax + bx \ln (x) - 1,\]

où $a$ et $b$ sont deux réels non nuls.

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~2] est donnée en annexe (à rendre avec la copie).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement $f(1)$.
		\item En déduire que $a  = 3$.
	\end{enumerate}
\item On sait que $f\left(\text{e}^{-\frac{3}{2}}\right) = -  6\text{e}^{-\frac{3}{2}} -  1$.

En déduire la valeur de $b$.

Dans la suite du problème la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 3x + 6x \ln (x) - 1.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.

(On pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln (x) = 0$.)

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ ; montrer que pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[,$
		 
		 $f'(x) = 9 + 6 \ln (x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de la  fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe  $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
		\item Tracer en couleur la droite $\mathcal{D}$ sur la figure de l'annexe ainsi que la tangente au point d'abscisse $\text{e}^{-\frac{3}{2}}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Sur la figure de l'annexe, les graduations représentent 1 unité en ordonnée et $0,1$ unité en abscisse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien d'unités d'aire représente un carreau ?

En vous appuyant sur la figure de l'annexe, donner un 
encadrement d'amplitude inférieure ou égale à 2 de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^2 f(x)\: \text{d}x$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = 3x^2 \ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item On admet que $g$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ ; déterminer  la dérivée $g'$ de $g$.
\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et calculer  $\displaystyle\int_{1}^2 f(x)\: \text{d}x$.

Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-3)(2.1,14)
\multido{\n=0+0.1}{22}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3)(\n,14)}
\multido{\n=-3+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(-0.1,-3)(2.1,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{2.04}{x ln x mul 6 mul 3 x mul add 1 sub}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.1,0){0,1} \uput[dr](1,0){1}
\uput[d](2.1,0){$x$} \uput[d](2,0){2}
\psline(0.1,-0.25)(0.1,0)\psline(1,-0.25)(1,0)
\psline(2,-0.25)(2,0)
\uput[l](0,1){1} \uput[l](0,14){$y$} 
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\bigskip

Dans une fête foraine, Julie décide de jouer à un jeu dont chaque partie se déroule de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Elle tire un jeton dans une urne contenant 7 jetons  rouges
et 2 bleus.
\item[$\bullet~$] S'il est bleu elle gagne, sinon, sans remettre le premier jeton tiré, elle en tire un deuxième.
\item[$\bullet~$] S'il est bleu elle gagne, sinon, sans remettre les deux  précédents, elle en tire un troisième.
\item[$\bullet~$] S'il est bleu elle gagne, sinon elle a perdu la partie.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Pour les calculs suivants, on pourra s'aider d'un arbre 
pondéré.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer les probabilités des évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og Julie gagne en un tirage exactement \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $B$ : \og Julie gagne en deux tirages exactement \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $C$ : \og Julie gagne en trois tirages exactement \fg{}.
\end{itemize}
		\item Calculer la probabilité de gagner à ce jeu.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans la suite de l'exercice qu'à chaque partie la probabilité de gagner est $\dfrac{7}{12}$.

À chaque partie gagnée, Julie gagne $1$~ticket. Elle a remarqué un joli petit ourson en peluche qu'elle peut obtenir avec au moins $3$~tickets.

Elle décide donc d'effectuer quatre parties consécutives. 

On suppose que les parties sont indépendantes.

On appelle $k$ le nombre de tickets gagnés par Julie lors des quatre parties
et on notera $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P(k= 2) \approx  0,354$ à $10^{-3}$	près.
		\item On donne, à $10^{-3}$ près :

$P(k = 0) \approx 0,030$ ;

$P(k = 1) \approx 0,169$ ;

$P(k = 3) \approx 0,331$ ;

$P(k = 4) \approx 0,116$.

Déterminer la probabilité pour que Julie reparte avec l'ourson à l'issue des
quatre parties.
	\end{enumerate}
\item La mise pour quatre parties est de $5$~\euro.

Les gains sont des bibelots dont la valeur, en fonction du nombre de tickets gagnés, est donnée dans le tableau ci-dessous :

\vspace{0,5cm}

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{m{3.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline
Nombre de tickets			&0 	& 1 	&2 		&3 	&4\\ \hline
Valeur du gain (en \euro)	&0	&0,75	&0,75	&6	& 10\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On appelle $G$ le gain de Julie, c'est-à-dire ce qu'elle gagne compte tenu de
ses mises.

	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les différentes valeurs prises par $G$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $G$ (on pourra utiliser les résultats donnés à la \textbf{question 2.}).
		\item Calculer l'espérance mathématique de $G$ et commenter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\bigskip

La part des femmes élues maires de 1947 à 2001 est donnée en pourcentage par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l| *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline
Année 				&1947 	& 1953 	&1959 	&1965	&1971	&1977	&1983  	&1989  	&1995  	&2001\\ \hline
Rang $x_{i}$		&0		& 1		& 2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		& 9\\ \hline
Part $y_{i}$ (\%)	&0,7	&0,8	&1		&1,1	&1,7	&2,6	&4		&5,5	&7,6	&  11,3\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\bigskip

\textsl{Pour tout l'exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à cette série statistique
$(x_{i}~;~y_{i})$ dans un repère orthonormé (unités : 1~cm).
\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en 
$x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront  arrondis au centième).

Tracer cette droite sur le graphique précédent.

\item En supposant que cet ajustement reste pertinent jusqu'en 2007, calculer une estimation de la part des femmes élues maires en 2007.
\item La forme du nuage de points laisse penser qu'un autre 
ajustement serait préférable. Pour cela, on pose $z = \ln y$, où $\ln$ est la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		 \item Faire un tableau faisant apparaître les valeurs $x$ et les valeurs $z = \ln y$, arrondies au centième.
		\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$  en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis 
au centième.
		\item En déduire l'ajustement $y = 0,54 \text{e}^{0,32}x$.
		\item En supposant que cet ajustement reste pertinent jusqu'en 2007, calculer une estimation de la part des femmes élues maires en 2007.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\bigskip

La figure donnée en annexe (à rendre avec la copie) représente une pyramide SABCD de sommet S.

On donne les coordonnées des points suivants dans un repère orthonormal  
\Oijk :

S$(0~;~0~;~5)$  ; A$(0~;~2~;~0)$ ; B$(2~;~0~;~0)$ ; C$(0~;~-2~;~0)$ ; 
D$(-2~;~0~;~0)$ ;  M$(0~;~1~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la base ABCD de la pyramide est un carré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sans aucun calcul, donner une équation du plan contenant les points A, B, C et D.
		\item Déterminer une équation du plan (ABS).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le plan (BCS) admet pour équation : $5x-5y+2z = 10$.
		\item Placer le point N$(1 ~;~ - 1~;~ 1)$. Est-il dans le plan (BCS) ?
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation du plan $\mathcal{R}$ parallèle au plan (BCS) passant par le point M.
		\item Dessiner les traces du plan $\mathcal{R}$ sur les plans 
($x$O$y$), ($y$O$z$) et ($x$O$z$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe}
    
\vspace{1cm}    
\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\psline(0.2,1.8)(1.1,1.6) \psline{->}(2.5,1.3)(3.2,1.15) 
\psline{->}(3.95,1)(6,0.6) \psline[linestyle=dotted](1.1,1.6)(2.5,1.3)
\psline[linestyle=dotted](3.2,1.15)(3.95,1)
\psline(3.8,3.5)(3.4,2.8) \psline[linestyle=dotted](3.4,2.8)(2.5,1.3)%O
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2.5,1.3)(2.3,0.95) \psline{->}(2.3,0.95)(1.7,0)
\psline(2.55,0)(2.5,0.6) \psline[linestyle=dotted](2.5,0.6)(2.5,1.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2.5,1.3)(2.4,2.3) 
\psline[linestyle=dotted](2.4,2.3)(2.3,6.15) 
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2.3,6.15)(2.27,6.8)
\pspolygon(1.1,1.6)(2.3,6.15)(3.95,1)(2,0.5)
\psline(2,0.5)(2.3,6.15)
\psline[linestyle=dotted](1.1,1.6)(3,2.1)(3.95,1)
\psline[linestyle=dotted](2.3,6.15)(3,2.1)
\uput[ul](2.3,6.15){S} \uput[ul](1.1,1.6){C} 
\uput[r](3,2.1){D} \uput[dr](3.95,1){A} \uput[d](3.2,1.15){M}
\uput[dr](2,.5){B} \uput[ul](2.5,1.3){O}
\uput[dr](1.7,0){$x$}
\uput[dr](6,0.5){$y$}
\uput[dr](2.27,6.8){$z$}
\uput[r](2.3,0.8){$\vect{\imath}$}
\uput[u](3.2,1.1){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](2.4,2.2){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}