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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES septembre 2004}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2004}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2004~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4].

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique de cette fonction dans le repère orthonormal \Oij. Elle passe par les points de coordonnées respectives
$(0~;~-3),~(1~;~0),~(2~;~1),~(3~;~0)$ et $(4~;~-3)$.

Elle admet, au point d'abscisse 2, une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}
\item Sans justification
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $u$, en précisant le signe de sa dérivée.
		\item Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $u$ sur [0~;~4].
	\end{enumerate}

\begin{center} 
\begin{pspicture}(-1,-4)(5,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-4)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=8]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-1,-4)(5,2)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](3.9,-2.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1,1)(3,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{4}{4 x mul 3 sub x dup mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On considère la fonction $f = \ln \circ u$ (fonction composée de $u$ suivie de $\ln$).

On admet que $f$ est dérivable en tout point où elle est définie.

En justifiant soigneusement votre choix, dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est définie sur $]0~;~4[$.
		\item $f$ est positive ou nulle sur son ensemble de définition.
		\item $f'(2) = 0$.	
		\item La droite d'équation $x = 1$ est une asymptote à la courbe représentative de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Obligatoire} \hfill 5 points}

\medskip

Pour fabriquer un appareil on utilise successivement et dans cet ordre deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La machine M$_{1}$ peut provoquer deux défauts $d_{1}$ et $d_{2}$. Un relevé statistique permet d'estimer que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4\,\% des appareils présentent le défaut $d_{1}$ et lui seul ;
\item[$\bullet~$] 2\,\% des appareils présentent le défaut $d_{2}$, et lui seul ;
\item[$\bullet~$] 1\,\% des appareils présentent à la fois les défauts $d_{1}$ et
$d_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un appareil à la sortie de M$_{1}$.
On note 

$A$ l'évènement \og l'appareil présente le défaut $d_{1}$ \fg{} ;

$B$ l'évènement \og l'appareil présente le défaut $d_{2}$ \fg{} ;

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $A$ et $B$ notées respectivement  $p(A)$ et $p(B)$.
		
Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
		\item Soit $D$ l'évènement \og l'appareil présente au moins un défaut \fg.
		
Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à $0,07$.
\item Quelle est la probabilité pour que l'appareil ne présente aucun défaut.

À la sortie de la machine M$_{1}$ les appareils en cours de fabrication passent par la machine M$_{2}$ qui peut provoquer un défaut $d_{3}$ dans les conditions suivantes :
	\end{enumerate}
$\bullet~$ 60\,\% des appareils ayant au moins un défaut en sortant de M$_{1}$ présentent le défaut $d_{3}$ ;

$\bullet~$3\,\% des appareils sans défaut à la sortie de M$_{1}$ présentent le défaut $d_{3}$.

\item On prélève au hasard un appareil après les passages successifs dans les
machines M$_{1}$ et M$_{2}$.

On note C l'évènement \og l'appareil présente le défaut $d_{3}$ \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les informations précédentes à l'aide d'un arbre pondéré.
		\item Quelle est la probabilité qu'un appareil fabriqué soit sans défaut ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Spécialité} \hfill 5 points}

\medskip

Lucien, fumeur impénitent, décide d'essayer de ne plus fumer.

\smallskip


S'il ne fume pas un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est 0,3.

Par contre, s'il fume un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est $0,9$.

\smallskip

On note $F$ l'évènement \og Lucien fume \fg et $\overline{F}$ l'évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations à l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et  $\overline{F}$.

On admet que la matrice M associée au graphe est 
$\begin{pmatrix}
0,1& 0,9\\
0,7& 0,3\\
\end{pmatrix}$
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, l'état probabiliste le $n$-ième jour est défini par la matrice ligne $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ où $a_{n}$ désigne la probabilité que Lucien fume le $n$-ième jour et $b_{n}$ la probabilité que Lucien ne fume pas le $n$-ième jour.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que le premier jour la probabilité que Lucien fume est 0,2.

Déterminer $P_{1}$.
		\item Calculer $M^2$ et en déduire $P_{3}$.
		\item Déterminer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$ et en déduire la probabilité que Lucien fume le $(n  + 1)$-ième jour en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. 
		\item On considère la matrice ligne $P = (a\quad  b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$.
		
Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = PM$.

En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise a lancé sur le marché un produit informatique en 1990.

Une étude statistique a permis d'établir les taux des ménages équipés entre
1993 et 2002.

Les résultats de cette étude sont consignés dans le tableau ci-dessous :
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&1993	&1994 	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001	&2002\\ \hline
Rang de	l'année $t_{i}$			&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9\\ \hline
Taux de ménages	équipés $y_{i}$	&0,20	&0,22	&0,32	&0,34	&0,35	&0,43	&0,48	&0,49	&0,53	&0,60\\ \hline
\end{tabularx}\]

Cette entreprise doit prévoir une reconversion dès que 90\,\% des ménages seront équipés, c'est-à-dire dès que le taux des ménages équipés sera égal à 0,9.

Pour faire cette étude prévisionnelle, elle envisage deux types d'ajustement.

Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

(Unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 20 cm sur l'axe des ordonnées).

\textsl{Les parties} B \textsl{et} C \textsl{peuvent \^etre traitées indépendamment de la partie} A.

\bigskip

\textbf{Partie A - Ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter en couleur le nuage de points associé à la série statistique
$\left(t_{i},~ y_{i}\right)$ dans le repère \Oij.
\item Donner une équation de la droite D d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. On ne demande pas le détail des calculs et les valeurs seront arrondies à $10^{-3}$.
\item Représenter D dans le repère \Oij.
\item Pourquoi cet ajustement ne permet-il pas d'effectuer des prévisions
après l'année 2011 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Ajustement logistique}

\medskip

On suppose que la situation est modélisée par la fonction $f$, définie et
dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, telle que

\[f(t) = \dfrac{1}{1 + 4\text{e}^{-0,2t}}.\]

Le nombre $f(t)$ donne en fonction du rang $t$ de l'année le taux des menages équipés.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et en déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote notée $\Delta$ dont on donnera une équation.
	\item Vérifier que, pour tout réel $t$ de $]0~;~+\infty[,~f'(t) = \dfrac{0,8\text{e}^{- 0,2t}}{\left(1 + 4\text{e}^{-0,2t}\right)^2}$.
	
En déduire le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\Delta$ dans le repère \Oij.
	\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(t) \geqslant  0,9.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Application}

\medskip

\textsl{Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à l'unité}.

On suppose que $f(t)$ est une approximation satisfaisante, au moins jusqu'en 2013, du taux des ménages équipés de ce produit informatique.

À l'aide de cette approximation et des résultats de la \textbf{partie B}, déterminer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le pourcentage des ménages équipés de ce produit informatique en 2008.
\item L'année à partir de laquelle 90\,\% des ménages seront équipés.
\end{enumerate}
\end{document}