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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Antilles -- Guyane}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 1999 ~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Effectuer les calculs à l'aide de la calculatrice. Aucun détail n'est demandé.
Le tableau suivant donne le PNB ainsi que le nombre d'hôpitaux pour 1 million
d'habitants dans quelques pays européens.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}| *8{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
Pays& A	&B&	C&	D& 	E& F & G & H\\ \hline
PNB, $x$, en euro par habitant & \np{5100} &\np{7800} &  \np{11200} &  \np{15800} &  
\np{20100} & \np{26230} & \np{28910} & \np{31910}\\ \hline
Nombre $y$ d'hôpitaux par million d'habitants &  620 & \np{1080} &  \np{1550}&  
\np{2100} & \np{3000} & \np{3800} & \np{4200} & \np{4400}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à
 la série $(x~;~y)$.
 
Unités : en abscisse : 1~cm pour \np{1000}~euros, en ordonnée : 1~cm pour 200~hôpitaux.

On prendra pour origine le point M$_0(\np{5000}~;~600)$.

On appelle G le point moyen de ce nuage.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient
de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ (donner la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ 
 près).
 
On admet qu'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est justifié.
		\item Donner une équation de la droite D de régression de $y$ en 
$x$.
		\item Tracer D dans le repère précédent (question \textbf{1.}).
		\item Calculer les coordonnées de G et vérifier graphiquement que G appartient à D.
\end{enumerate}
\item Un pays a un PNB de \np{23400}~euros. Quelle estimation peut-on faire du nombre d'hôpitaux dans ce pays ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill  5 points}

\textbf{(obligatoire)}

\medskip

Un lycée propose trois options facultatives : arts plastiques, histoire des arts, musique. Un élève ne peut choisir qu'une seule de ces trois options.
  
Le groupe des élèves ayant fait l'un de ces choix à la rentrée 1997 se décompose de la façon suivante : 35\,\% en arts plastiques, 45\,\% en histoire des arts,
 20 \% en musique. 
À la rentrée 1998, 60\,\% des élèves en arts plastiques, 70\,\% en histoire des arts, 80\,\% en musique, conservent leur option.
  
Des animateurs, ne connaissant pas les élèves, organisent une réunion du groupe des élèves inscrits en 1997 dans une des options.
 
On note ainsi les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $A$ \og L'élève est inscrit en arts plastiques à la rentrée 1997 \fg.
\item[ ] $H$ \og L'élève est inscrit en histoire des arts à la rentrée 1997 \fg.
\item[ ] $M$ \og L'élève est inscrit en musique à la rentrée 1997 \fg.
\item[ ] $C$ \og L'élève a conservé son option à la rentrée 1998 \fg.
\end{description} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire la situation à l'aide d'un arbre de répartition.

\item On admet que l'animateur choisit au hasard un élève.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og il était inscrit en arts plastiques en 1997 et a conservé cet enseignement en 1998 \fg.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement C est égale à \np{0,6135}.
		
	\end{enumerate}

\item Un des animateurs souhaite connaître les motivations des élèves qui n'ont pas conservé leur option en 1998.
 
Il demande à ces élèves de lever la main et il en appelle un au hasard.

Calculer la probabilité de l'évènement \og cet élève était inscrit en histoire de arts en 1997 \fg.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{(spécialité)}

\medskip

Les questions I et II sont indépendantes.

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.} 25 élèves d'une classe de seconde sont
admis en première. Ils se répartissent de la façon suivante :

\begin{description}
\item[ ]10 en série L ;
\item[ ]9 en série ES ;
\item[ ]6 en série S.
\end{description}

On choisit au hasard trois élèves de cette classe de seconde qui sont admis en classe de première.

Calculer la probabilité de l'évènement : \og Les trois élèves sont admis en série ES \fg{}.

\bigskip

\textbf{II.} Dans l'établissement, sur 300 élèves de
seconde admis en première, on a la répartition suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item  75 élèves en série L ;
\item  120 élèves en série ES ;
\item  105 élèves en série S.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Parmi les élèves admis en série L, 60\,\% sont des filles. De même, 55\,\% des admis en série ES et 40\,\% des admis en série S sont des filles.

On choisit au hasard un élève admis en classe de première. On note ainsi les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $L$ : \og L'élève est admis en série L \fg{} ;
\item[] $E$ : \og L'élève est admis en série ES \fg{} ;
\item[] $S$ : \og Un élève est admis en série S \fg{} ;
\item[] $F$ : \og L'élève est une fille \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement suivant : \og L'élève  est une fille admise en série ES \fg{} ?    
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $F$.
	\end{enumerate}
\item On prend au hasard le dossier d'un des élèves admis en première. Après utilisation, on le remet avec les autres. On effectue, au total, cinq fois cette opération.

Calculer la probabilité de l'évènement : \og Trois dossiers exactement sont des dossiers de filles \fg.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

\emph{L'objet de ce problème est l'étude d'une fonction.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur I = $]-\infty~;~ + 1[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln (1 - x)}{1 - x} + x + 1.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan
rapporté à un repère orthonormal \Oij,  unité graphique : 2~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur I par
 
\[g(x) = x^2 - 2x + \ln (1 - x).\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la variation de $g$ sur  I (on ne demande pas le calcul des limites).
\item Calculer $g(0)$.

Étudier le signe de $g(x)$ sur	$]-\infty~;+ 1[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$.

On admettra le résultat suivant : la limite de $\dfrac{\ln(1 - x)}{1 - 
x}$ quand $x$ tend vers $- \infty$ vaut zéro.
		\item Calculer la limite de $f$ en + 1 et interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}

\item On admet que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ vérifie l'égalité ci-dessous : 

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{(1 - x)^2}.\]

En déduire les variations de $f$.
 
Dresser le tableau des variations de $f$ sur I.

\item Soit la droite D d'équation $y = x + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à D suivant les valeurs de $x$.
		\item Montrer que D est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage  de $-\infty$.		
\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ avec ses asymptotes dans le repère orthonormal défini dans l'introduction. (Unité
graphique : 2~cm.)

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C - Calcul d'une aire}

\medskip

Soit la fonction $H$ définie sur I par
 
\[H(x) = - \dfrac{1}{2}\left[\ln (1 - x)\right]^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur I par

\[h(x) = \dfrac{\ln (1 - x)}{1 - x}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte en unité d'aire,
de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D et les droites d'équations $x = -1$ et $x = 0$.
		\item Donner une valeur approchée de cette aire en cm$^2$ à 
$10^{-2}$ près par défaut.
		\item Sur le graphique construit en \textbf{Partie B. 4.}, hachurer le domaine correspondant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}