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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre  2000}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2000~\decofourright}}}
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Dans une entreprise de conception de logiciels pour l'informatique,
$20\,\%$ des employés ont un diplôme en gestion des affaires.
$70\,\%$ des diplômés en gestion des affaires ont des postes de cadre, alors que seulement $15\,\%$ de ceux qui n'ont pas ce diplôme occupent ces postes.

Le comité d'entreprise organise en fin d'année une loterie pour tout le
personnel. Chaque employé reçoit un billet de loterie et un seul.

Tous les billets sont placés dans une urne et on en tire un totalement au
hasard.

L'employé gagnant se voit alors offrir un voyage.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Construire un arbre de probabilité décrivant cette situation.
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :
		
G : \og L'employé gagnant a un diplôme de gestion des affaires \fg.

C : \og L'employé gagnant est un cadre de l'entreprise \fg.
	\end{enumerate}
\item Sachant que l'employé gagnant est un diplômé en gestion des affaires, quelle est la probabilité que ce soit un cadre ?
\item Quelle est la probabilité que l'employé gagnant soit un cadre si
 l'on sait qu'il n'est pas diplômé en gestion des affaires ?
\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

\og L'employé gagnant est cadre et diplômé en gestion des affaires \fg.

\og L'employé gagnant est cadre et non diplômé en gestion des affaires \fg{}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à 
l'aide de la calculatrice et seront arrondis à} 2 \emph{chiffres après la
 virgule.}
  
Le tableau suivant donne le bénéfice, en millions de francs (MF), 
obtenu chaque année par une entreprise pour les années 1995 à 1999.
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1995 	&1996 	&1997 	&1998	&1999\\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline
Bénéfice $y_i$ 			&10 	&9 		&12 	&8 		&11\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. 
Que peut-on en déduire quant à la pertinence d'un ajustement affine
 pour cette série statistique à deux variables ?
\item On considère ensuite la série $z_i$ des effectifs cumulés croissants de la série $y_i$.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1995 	&1996 	&1997 	&1998	&1999\\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline
Bénéfice $y_i$ 			&10 	&19 	&  		& 	 	& 	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$.
		\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$.
\item À l'aide des résultats précédents, montrer qu'il est possible de calculer une estimation du bénéfice cumulé pour l'année 2000, puis du bénéfice pour l'année 2000, arrondi à une unité près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Une usine produit des appareils ménagers comportant des composants
électriques et des pièces mécaniques.
Ces appareils peuvent être défectueux. Ces défauts peuvent avoir deux
origines, défaut d'origine mécanique, défaut d'origine électrique.

Ces deux défauts sont indépendants et peuvent être simultanés sur un
même appareil.

Un suivi statistique de la production journalière permet d'attribuer une
valeur de probabilité aux évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ La probabilité, pour un appareil tiré au hasard dans la production journalière, d'être défectueux est de $1,5 \times 10^{- 3}$.

$\bullet~$ Pour un appareil pris au hasard parmi ceux qui sont défectueux, la probabilité pour que l'une des origines de la panne soit due aux composants  électriques est égale à 0,7.

$\bullet~$ La probabilité, pour un appareil pris au hasard parmi ceux qui ont un défaut électrique, d'avoir aussi un défaut mécanique est de 0,8.
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $D$ l'évènement \og L'appareil est défectueux \fg.

On désigne par $E$ l'évènement \og L'appareil présente un défaut 
électrique \fg.

On désigne par $M$ l'évènement \og L'appareil présente un défaut mécanique \fg.

\emph{Les résultats numériques seront donnés avec cinq chiffres après la
 virgule.}
 
\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og L'appareil ne présente aucun défaut \fg.
\item Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
\item Calculer les probabilités suivantes :
	\begin{enumerate} 
		\item $P(E \cap M)$ ;
		\item $P(E)$ ;
		\item $P(M)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0~;~+\infty[$ dont une courbe représentative ($\mathcal{C}$) est donnée en annexe dans un repère 
orthogonal.

Dans tout le problème on se contentera d'étudier les fonctions sur
]0~;~5].

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Au moyen d'une lecture graphique et en utilisant le tableau de
valeurs, donner le signe de $f$ sur ]0~;~5].
\item On note $F$ la primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ qui prend la valeur 0 pour $x = 1$.

La courbe de $F$ est donnée en annexe.

Calculer, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{A}$ compris entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x$ = e.
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$	par :

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln(x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en zéro par valeurs supérieures.

Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ?
\item Calculer la dérivée de $f$ et étudier le signe de cette dérivée.
 
Dresser le tableau des variations de $f$ sur ]0 ; 5].
\item Calculer une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

Donner l'expression de $F$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise qui fabrique des ustensiles de cuisine sait qu'elle peut en produire jusqu'à \np{5000} par jour et que son bénéfice, exprimé en milliers de francs, est donné par :

\[B(q) = 10 \times \dfrac{ 1 + \ln(q)}{q}\]

où $q$ est le nombre d'unités produites, en milliers.
 
Déduire de l'étude de la \textbf{partie B} :

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le nombre minimal d'unités à produire pour que l'entreprise atteigne le seuil de rentabilité (bénéfice positif) ;
\item Le nombre exact d'unités à produire pour que l'entreprise obtienne
 un bénéfice maximum, ainsi que la valeur de ce bénéfice.
 \end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe du problème}

\medskip

\emph{Courbe de la fonction } $f$

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1,gridwidth=1.5pt,gridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(5.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-2)(6,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) 
\psplot[plotstyle=curve,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.232}{6}{x ln 1 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace*{0.5cm}

\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$ 	&$\dfrac{1}{\text{e}}$ 	& $1$ 	& $\text{e}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f(x)$ &0 						&1 		& $\dfrac{2}{\text{e}}$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\vspace*{0.5cm}

\emph{Courbe de la fonction} ~$F$

\bigskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(-1,-1)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) 
\psplot[plotstyle=curve,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.0265}{5.185}{x ln 1 add dup mul 2 div 0.5 sub}
\end{pspicture}

\vspace*{0.5cm}

\[\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$ 	&$\dfrac{1}{\text{e}}$ 	&1 	&$\text{e}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$F(x)$ &$- \dfrac{1}{2}$		&$0$ 	&$\dfrac{3}{2}$\\ \hline
\end{tabularx}\]
\end{center}
\end{document}