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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES septembre 2001}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~ Baccalauréat ES  Antilles--Guyane septembre 2001 ~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

Le tableau suivant donne le pourcentage de conscrits (jeunes gens ayant 18 ans dans l'année) qui sont en surpoids ou obèses.

\medskip

{  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1987 	&1988	&1989	&1990 	&1991 	&1992	&1993 	&1994 	&1995 	&1996\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10 \\ \hline
Pourcentage $y_i$ 		&11,5	&11,7 	&12,5	&13,5	&13,3 	&14,5  	&15,8 	&15,5  	&15,6 	&16,5\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize (Enquête du laboratoire espace, santé et territoire, université de Paris X -- Nanterre)}\\
\end{tabularx}}

\medskip

Les résultats des calculs seront arrondis à $10^{-2}$ près.

Les coordonnées des points seront arrondies à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à
 la série statistique dans un repère orthonormé. L'origine du repère correspond au point de coordonnées (0~;~10).
 
G désigne le point moyen de ce nuage. Calculer ses coordonnées ($x_0$ et 
$y_0$).

Placer ce point sur le graphique.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Trouver une équation de la droite (D) obtenue par la
 méthode des moindres carrés.
		\item Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent et vérifier que le point G appartient à cette droite.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près du nombre 
$\rho = \dfrac{\text{cov}(x~;~y)}{\sigma_x\sigma_y}$.
		\item Calculer la somme S des carrés des résidus correspondant à cet ajustement. 
		\item Vérifier que $\dfrac{\text{S}}{\sum \left(y_i -y_0\right)^2} =  1 - \rho$. 	
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents donner une estimation du pourcentage de jeunes gens en surpoids ou obèses ayant 18 ans en 2001.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le système éducatif français est composé du $1\up{er}$ degré (écoles maternelles et primaires) et du $2\up{e}$ degré (collèges et lycées).
 
Le personnel assurant le fonctionnement est composé de personnel enseignant
et de personnel non enseignant (administration, service...).

À la rentrée 1999, on a les informations suivantes :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~64\:\%$ du personnel est enseignant

$\bullet~40\:\%$ du personnel est dans le $1\up{er}$ degré

$\bullet~39\:\%$ du personnel enseignant est dans le $1\up{er}$ degré.
\setlength\parindent{0mm}

On utilisera les notations suivantes pour désigner les 
évènements :

\setlength\parindent{9mm}
$E$ : \og être enseignant \fg{}

$\overline{E}$ : \og ne pas être enseignant \fg{}

$D1$ : \og être dans le $1\up{er}$ degré \fg{}

$D2$ : \og être dans le $2\up{e}$ degré \fg{}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une personne ; après justification, les résultats des calculs
seront donnés sous forme décimale à $10^{-2}$ près.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité pour un enseignant d'être dans le $1\up{er}$ degré ?

\item Quelle est la probabilité pour un enseignant d'être dans le $2\up{e}$ degré ?
\item Quelle est la probabilité pour une personne du système éducatif d'être enseignant du $1\up{er}$ degré ?
\item Quelle est la probabilité pour une personne d'être enseignante, sachant
qu'elle est employée dans le $1\up{er}$ degré ?
\item Quelle est la probabilité pour une personne de ne pas être enseignante,
sachant qu'elle est employée dans le $2\up{e}$ degré ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un couple dépose au premier janvier de l'an 2000, une somme de \np{5000}~euros sur un compte rémunéré au taux annuel de $6\:\%$.

Par la suite, ce couple possède une capacité d'épargne annuelle de
\np{3000} euros, épargne versée tous les $1\up{er}$ janvier sur le compte précédent.

Les intérêts sont capitalisés au 31 décembre de chaque année.

On note $S_n$ la somme dont le couple dispose au $1\up{er}$ janvier
 de l'année $(2000 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les valeurs de $S_0,~S_1,~S_2$.

\item Montrer que l'expression de $S_{n+1}$, en fonction de $S_n$ est donnée par la
relation :

\[S_{n+1} = 1,06S_n + \np{3000}.\]

\item On pose $T_n = S_n + \np{50000}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\left(T_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,06.
		\item Exprimer $T_n$ puis $S_n$ en fonction de $n$.
		\item Au $1\up{er}$ janvier de quelle année le couple possédera-t-il
une épargne supérieure à \np{50000} euros ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

Une entreprise fabrique un produit en quantité $x$.

Le coût total de ce produit est donné par 

\[C_{\text{T}}(x) = \dfrac{x^2}{4}  + \dfrac{9}{2} \ln (x + 1)\quad  \text{pour} \quad  x \in [0~ ;~ 5].\]

Les coûts sont exprimés en millions d'euros et $x$ est exprimée en milliers de
tonnes.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie I - Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath  
$f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~5] par 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} + 	\dfrac{9x}{x + 1} - 9 \ln (x + 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que l'on peut écrire 

\[f'(x) = \dfrac{x(x - 2)(x + 4)}{(x+ 1)^2}.\]

\textsl{Les détails du calcul de} $f'$ \textsl{devront figurer sur la 
copie.}

\smallskip

\item Établir le tableau de variations de $f$ sur [0~;~5].
\item En déduire que $f$ s'annule sur [0~;~5] pour une valeur unique $\alpha$.
\item Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$. (On précisera la méthode
 utilisée.)
\item Déduire des résultats précédents le signe de $f$ sur [0 ; 5].
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie II -- Étude du coût moyen}

\medskip

La fonction coût moyen $C_m$ est définie sur [0~;~5] par :

\[C_{m}(x) = \dfrac{C_{\text{T}}(x)}{x} = \dfrac{x}{4} + \dfrac{9}{2} \times 
\dfrac{\ln (x + 1)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $C'_m(x)$ et vérifier que l'on peut écrire $C'_m(x) = 
\dfrac{f(x)}{2x^2}$ où $f$ est la fonction auxiliaire de la question 
\textbf{1} de la partie \textbf{I}.

\textsl{Les détails du calcul de} $C'_m$  \textsl{devront figurer sur la 
copie.}
\item Étudier le sens de variation de $C_m$ sur [0 ; 5].
\item Pour quelle production, exprimée en tonnes, à une unité près, le coût moyen est-il minimal ?

Quel est alors ce coût ?
\end{enumerate}
\end{document}