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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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%%%%% commandes personnelles 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat S}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{9 septembre 2019}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2019 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\smallskip

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un panier de petite taille;
\item[$\bullet~~$] un panier de taille moyenne;
\item[$\bullet~~$] un panier de grande taille.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'association envisage de proposer en outre des livraisons d'œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.

On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og l'adhérent choisit un panier de petite taille \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og l'adhérent choisit un panier de taille moyenne \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og l'adhérent choisit un panier de grande taille \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : \og l'adhérent est intéressé par une livraison d'œufs frais \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l'arbre ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$A$~~} \ncput*{$\frac{2}{3}$}}
	{\TR{$F$} \ncput*{$\frac{3}{4}$}
	\TR{$\overline{F}$}
	}
\pstree{\TR{$B$~~} \ncput*{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{$F$} \ncput*{$\frac{3}{5}$}
	\TR{$\overline{F}$}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}}
	{\TR{$F$} 
	\TR{$\overline{F}$}
	}
}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l'arbre.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d'œufs frais.
		\item Calculer $P\left(B \cap \overline{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
		\item La livraison d'œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de
l'évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$, est égale à $0,3$.
		\item L'adhérent interrogé est intéressé par la livraison d'œufs frais.
		
Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La masse, en gramme, d'un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d'espérance \np{5000} et d'écart- type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$~kg.

On choisit au hasard un panier de grande taille.

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'il soit non conforme ?
\item  Les responsables de l'association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d'un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$, suivant une loi normale d'espérance \np{5000} et d'écart-type $\sigma$. La probabilité qu'un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.

Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'unité. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.

Lors d'une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88$\,\% des adhérents de ces associations sont satisfaits.

Un auditeur intervient dans l'émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l'appui de son propos, l'auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls
$100$ ont indiqué être satisfaits.

La contestation de l'auditeur est-elle fondée ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points A(10~;~0~;~1), B(1~;~7~;~1) et C(0~;~0~;~5).

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(12,10)
%\psgrid
\psline{->}(1,3.7)(1,10)\uput[l](1,9.9){$z$}
\psline{->}(0,3.85)(11,5.5)\uput[d](11,5.5){$y$}
\psline{->}(0.8,4.2)(6,0)\uput[u](6,0){$x$}
\psdots(1,4)(1,9)(1,6.5)(4,3)(7,5.5)(2.5,6)(4,7.25)%OCDABFE
\uput[dl](1,4){O} \uput[l](1,9){C} \uput[l](1,6.5){D} 
\uput[dr](4,3){A} \uput[r](7,5.5){B} \uput[dl](2.5,6){F}\uput[ur](4,7.25){E}
\pspolygon(1,4)(4,3)(7,5.5)(1,9)%OABC
\psline(1,9)(4,3)%CA
\psline(1,6.5)(2.5,6)(4,7.25)%DFE
\psline[linestyle=dashed](1,4)(7,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1,6.5)(4,7.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires. 
		\item Déterminer la mesure, en degré, de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, arrondie au dixième.
 	\end{enumerate}
\item Vérifier que $7x + 9y - 70z = 0$ est une équation cartésienne du plan (OAB).
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA).
\item Soit D le milieu du segment [OC]. Déterminer une équation du plan P parallèle au
plan (OAB) passant par D.
\item Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.

Déterminer les coordonnées du point F.
On admet que le point E a pour coordonnées $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{7}{2}~;~3\right)$.
\item Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = 4x - x \ln x.\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $g'$ sa dérivée.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}Le graphique ci-contre représente une partie de la 
courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] il semble que la fonction $g$ soit positive ;
\item[$\bullet~~$] il semble que la fonction $g$ soit strictement
croissante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10.5,10.5)
\psaxes(0,0)(-0.9,-0.9)(10.5,10.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,Dy=2]{0.001}{4}{4 x mul x x ln mul sub}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

L'objectif de cette partie est de valider ou d'invalider chacune de ces conjectures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $g(x) = 0$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\item Les conjectures de l'élève sont-elles vérifiées ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on poursuit l'étude de la fonction $g$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que
		
\[\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{\ln t}{t} = 0.  \]

En déduire que

\[\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0.\]

		\item Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x) = 3 - \ln x$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[G(x) = \dfrac{1}{4}x^2(9 - 2\ln x).\]

On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ?
		
\og Il n'existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à 1 tel que $\displaystyle\int_1^{\alpha} g(x) \:\text{d}x = 0$. \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

\emph{Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte, une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par 

\[p_n = n^2 - 42n + 4.\]

\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.

\item Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et 
$\left(v_n\right)$ définies par :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $U_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}$ ;
\item[$\bullet~~$]$v_n = u_n^2 - 1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
\item On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$,

\[n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n.\]

\textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1 + U_n}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $U_1$ que l'on écrira sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

\[U_n = \dfrac{2^n}{1 + 2^n}.\]

\item On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d'exécution.

Déterminer lequel en justifiant votre choix.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
\begin{tabular}{l}
$u\gets \dfrac{1}{2}$\\
$i \gets 0$\\
Tant que $i < n$\\
\hspace{1cm}$u\gets \dfrac{2u}{u+1}$\\
\hspace{1cm}$i \gets i + 1$\\
Fin Tant que\\
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l}
$u\gets \dfrac{1}{2}$\\
Pour $i$ allant de 0 à $n$\\
\hspace{1cm}$u\gets \dfrac{2u}{u+1}$\\
Fin Pour\\
\end{tabular}&
\begin{tabular}{l}
$p \gets 2^n$\\
$u \gets \dfrac{p}{p + 1}$\\
\end{tabular}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une ville possède deux ports maritimes:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un port de plaisance A ;
\item[$\bullet~~$] un port de commerce B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le port de plaisance A n'a pas d'accès direct à l'océan mais est relié au port de
commerce B qui, lui, est ouvert sur l'océan. Un passant, installé en terrasse sur le
port de plaisance A, jette une bouteille dans l'eau.

À l'instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.

Soit $n$ un entier naturel.

On admet que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu'elle y soit encore l'heure suivante est $\dfrac{3}{5}$ ;
\item[$\bullet~~$] quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu'elle soit dans le port A l'heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu'elle se trouve toujours dans le port B l'heure suivante est $\dfrac{1}{15}$ ;
\item[$\bullet~~$] le port A n'ayant pas d'accès direct à l'océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l'océan l'heure suivante;
\item[$\bullet~~$] une fois dans l'océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soient les évènements :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_n$ : \og la bouteille se trouve dans le port A au bout de n heures \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B_n$ : \og la bouteille se trouve dans le port B au bout de n heures \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C_n$ : \og la bouteille se trouve dans l'océan au bout de n heures \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $a_n$,\; $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.

Ainsi on a $a_0 = 1$,\; $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'arbre fourni en \textbf{ANNEXE} à rendre avec la copie.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
		a_{n+1}&=&\dfrac{3}{5}a_n + \dfrac{1}{10}b_n\\
		b_{n+1}&=&\dfrac{2}{5}a_n + \dfrac{1}{15}b_n
		\end{array}\right.\]

Soient les matrices suivantes :

\[M = \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix}\quad \text{et}\quad U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}.\]

		\item Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$,\; $U_n = M^nU_0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner $U_0$.
		\item Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l'un des coefficients et en déduire qu'il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
		\item  Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif,

\[M^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M.\]
		
		\item  En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif,

\[U_n = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\
\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}.\]
		
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la probabilité que la bouteille soit dans l'océan au bout de $n$
 heures est égale à $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.
		\item  On considère l'algorithme ci-dessous :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$n\gets 1$\\
Tant que $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} < 0,9$\\
\hspace{0.8cm}$n \gets n+1$\\
Fin  Tant que\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Indiquer sans justification le nombre contenu dans la variable $n$ de cet
algorithme à la fin de son exécution.

Interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{ANNEXE de l'exercice 4}

\medskip

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1,labelsep=0.1pt,levelsep=4cm,treesep=2cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_n$~~}}
	{
	\TR{$A_{n+1}$}
	\TR{$B_{n+1}$}
	}
\pstree{\TR{$B_n$}~~}
	{\TR{$A_{n+1}$}
	\TR{$B_{n+1}$}
	\TR{$C_{n+1}$}
	}
\pstree{\TR{$C_n$}~~}
	{\TR{$C_{n+1}$} \taput{1}
	}
}

\end{center}
\end{document}