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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small  juin 1996}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on pourra utiliser les fonctions statistiques de la calculatrice, le détail des calculs n'est pas exigé.}

\medskip
 
La société Dulog a mis au point un nouveau logiciel destiné essentiellement à des entreprises.
 
Une enquête a été effectuée par la société auprès de $300$ entreprises déjà équipées d'un matériel apte à recevoir ce logiciel, afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats 
suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$ : prix proposé pour le nouveau logiciel (en milliers de francs)&
$y_{i}$ : nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix \\ \hline
32 &80 \\ \hline
27 &125\\ \hline 
24 &145\\ \hline 
18,5 &200\\ \hline 
15,5 &225\\ \hline 
12 &250\\ \hline 
11 &265\\ \hline 
8 &280\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient de corrélation de cette série statistique. (Résultat donné à $10^{-3}$ près). Interpréter ce résultat. 
\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression (D) de y en x (valeurs données à $10^{-3}$ près). 
\item Dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1 cm pour \np{2000}~francs en abscisses et 5~cm pour $100$ entreprise en ordonnées, représenter: 
- le nuage de points associé à la série statistique ci-dessus; 
- la droite (D). 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À partir de ce graphique, déterminer le prix de vente maximum que doit fixer la société Dulog, pour que les $300$ entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel. (On donnera un résultat à $500$ francs près.) 
		\item Retrouver le résultat précédent par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans un magasin d'électro-ménager, un acheteur potentiel s'intéresse à un lave-linge et à un sèche-linge.
 
La probabilité pour qu'il achète le lave-linge est 0,6.
 
La probabilité pour qu'il achète le sèche-linge quand il a acheté le lave-linge est 0,7.
 
La probabilité pour qu'il achète le sèche-linge quand il n'a pa acheté le lave-linge est 0,1.
 
On désigne par L l'évènement : \og le client achète le fave-linge \fg{} et par S l'évènement : \og le client achète le sèche-linge \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements suivants:
	\begin{enumerate}
		\item \og Le client n'achète pas le lave-linge\fg. 
		\item \og Le client n'achète pas le sèche-linge quand il n'a pas acheté le lave-linge \fg.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité pour que le client n'achète ni le lave-linge ni le sèche-linge est $0,36$. 
\item Le lave-linge coûte \np{4000}~F et le sèche-linge \np{3200}~F. On désigne par $D$ la dépense effective du client. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir les valeurs possibles de la variable aléatoire $D$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $D$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$. 
		\item Le \og service clientèle \fg du magasin sait qu'il se présente en moyenne chaque semaine 25 acheteurs potentiels pour ces deux appareils. Quel chiffre d'affaires hebdomadaire le magasin peut-il espérer réaliser ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Deux constructeurs d'automobiles lancent simultanément deux modèles de voitures $a$ et $b$.
 
Afin de promouvoir leur produit, ils font appel à des sociétés de publicité qui procèdent à des sondages. La campagne publicitaire dure plusieurs mois. Chaque mois on interroge les même individus.
 
On définit les évènements suivants :
 
$A_{n}$ : \og L'individu interrogé se déclare favorable au modèle $a$ au $n$-ième mois\fg.
 
$B_{n}$ : \og L'individu interrogé se déclare favorable au modèle $b$ au $n$-ième mois\fg.
 
On pose : $p_{n} =$ probabilité de $A_{n}$ ; $q_{n} =$ probabilité de $B_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On suppose qu'un individu interrogé est obligé de se déterminer soit pour le modèle $a$, soit pour le modèle $b$. Écrire alors une relation entre $p_{n}$ et $q_{n}$. 
\item On constate qu'un individu favorable au modèle $a$ à un moment donné, garde une fois sur deux le même avis le mois suivant, alors qu'un individu favorable au modèle $b$ garde le même avis sept fois sur dix le mois suivant.
 
Déterminer dans ces conditions les probabilités conditionnelles suivantes :
 
$p\left(B_{n+1}/A_{n}\right)$ et $p\left(B_{n+1}/B_{n}\right)$. 
\item En utilisant la formule des probabilités totales et les résultat des questions précédentes, démontrer que : 

\[p\left(B_{n} \cap  B_{n+1}\right) = 0,7 \times q_{n}\quad  \text{et que}\quad  p\left(A_{n} \cap B_{n+1}\right) = 0,5 \times p_{n}.\]

En déduire que $p\left(B_{n+1}\right) = 0,7 q_{n} + 0,5 p_{n}$.
 
Montrer que $q_{n+1} = 0,2 q_{n} + 0,5$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\N$, de terme général: 
$u_{n} = q_{n} - 0,625$ est une suite géométrique de raison $0,2$. 
\item Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$ puis celle de $\left(q_{n}\right)$ ; en déduire la limite de $\left(p_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
Le but du problème est d'étudier une fonction, d'en construire la représentation graphique, de donner une valeur approchée d'une solution d'une équation et de calculer une aire.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]

On désigne par ($C$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisses et 4cm en ordonnées). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et construction de la courbe \boldmath$(C)$\unboldmath} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire ? 
		
Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et étudier on signe. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
		\item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. Déterminer le signe de $f(x)$. 
		\item Déterminer les équations des tangentes à la courbe $(C)$ aux points d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. Construire ces tangentes. 
		\item Construire $(C)$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Résolution approchée d'une équation}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{4}$ admet une solution unique $\alpha$ dans [1~;~e] 
		\item Déterminer graphiquement un encadrement de $\alpha$. 

Calculer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Calcul d'aire} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction g définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
		
\[g(x) = x(2 - \ln x)^2.\]
		 
		\item Calculer l'aire (en cm$^2$) du domaine limité par l'axe des abscisses et l'arc de la courbe $(C)$ correspondant aux $f(x)$ positifs.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}