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%Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane 
juin 2007~\decofourright}}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers légumes frais contenant 2~kg de légumes ou des paniers contenant 5~kg de légumes.

35\,\% des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.

Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40\,\% choisissent les paniers de 5~kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2~kg de légumes.

\smallskip

On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.

\smallskip

On note $E$ l'évènement \og le client interrogé a au moins un enfant \fg{} ;
on note $C$ l'évènement \og le client interrogé a choisi un panier de 5~kg de légumes\fg.

\smallskip
 
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire.

\smallskip

\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant~?
\item Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5~kg de légumes ?
\item Décrire l'évènement $\overline{E} \cap C$, et montrer que $p\left(\overline{E} \cap  C\right)=0,\!26$.
\item On sait de plus que 30\,\% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5~kg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(E \cap C)$.
		\item En déduire la probabilité conditionnelle de $C$ sachant que $E$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle \mbox{$I = ]0~;~+\infty[$}. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$.

Les axes (O$x$) et (O$y$) sont asymptotes à $\mathcal{C}$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(1~;~-1)$ et $B\left(\dfrac{1}{\text{e}}~;~0\right)$ et admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point~$A$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2)(11.3,7.22)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(0,-2)(11.3,7.22)
\psset{algebraic=true,dotstyle=+,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt,xlabelPos=top,linewidth=1pt ](0,0)(-0.52,-1.76)(11.3,7.)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt,xlabelPos=top,linewidth=1.5pt ]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0.139}{11.3}{(-1-ln(x))/x}
\psline{->}(1,-1)(1.86,-1)
\psline{->}(1,-1)(0.14,-1)
\uput[dl](0,0){O}
\rput[tl](8.64,-0.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots[dotscale=1.7,dotangle=45](1,-1)(0.368,0)
\rput[bl](1.08,-1.34){$A$}
\psdots[linecolor=darkgray](0.37,0)
\uput[dr](0.44,0){\darkgray{$B$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
	\begin{enumerate}
		\item $f(1)$ et $f'(1)$.
		\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
		\item les solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ et les solutions de l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $f'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
		\item Utiliser les résultats de la question 1a. pour montrer que $a=-1$ et $b = -1$.
		\item Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un pays,  un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.

De plus, chaque année, \np{12000}~personnes arrivent dans ce pays et \np{5000}~personnes le quittent.

En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.

On note $P_{n}$ la population de l'année $2005 + n$ exprimée en milliers d'habitants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{0}$, $P_{1}$ et $P_{2}$. La suite de terme général $P_{n}$ est-elle arithmétique~? géométrique~? Justifier la réponse.
\item Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=1,\!014P_{n}+7.$
\item Démontrer que la suite $(U_{n})$ définie par $U_{n}=P_{n}+500$ pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
\item Exprimer $U_{n}$ puis $P_{n}$ en fonction de $n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
		\item Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 					&1998 	&1999 	&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004\\\hline
Rang de l'année $x_{i}$ &0 		&1 		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
Montant en millions
d'euros $y_{i}$ 		&75		&260	&820	&1650	&2300	&4000	&5300\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer  l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant des achats.
\item Représenter par un nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2~cm pour \np{1000} millions d'euros sur l'axe des ordonnées).
\item \emph{Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité}.

Donner une équation des la droite d'ajustement affine $D$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter cette droite dans le repère précédent.
\item On propose  un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction $f$ définie, pour tout réel positif $x$, par: 
$f(x) = 130x^2 + 100x + 68$.

Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$f(x)$& &  & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
\item Le montant des achats en ligne en 2005 a été de \np{7700} millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît-il le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\text{e}^x-1$.

Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction $g$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & $\qquad\qquad\qquad$ &$-1$&$\qquad\qquad\qquad$&$+\infty$\\
\hline
Signe de $g'(x)$ &&$-$&0&$+$&\\
\hline
&\rnode{a}{$-1$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
Variations de $g$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-\dfrac{1}{\text{e}-1}$}& & \\[2ex]
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=2pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=2pt]{->}{b}{c}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $a$ strictement positive. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item On note $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)=\text{e}^x-\ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.		
		\item Vérifier que, pour tout $x > 0$, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier les variations de $f$ puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Tracer la courbe $\mathcal{C}$ en prenant \np{0,57} comme valeur approchée de $a$.

(\emph{Prendre\: $4$~cm pour unité sur l'axe des abscisses et $2$~cm sur l'axe des ordonnées}).
\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que :

\[1\leqslant x\leqslant 2\quad \text{ et }\quad 0\leqslant y\leqslant f(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que la fonction $H$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $H(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x)=\ln x$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm\up{2}, arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}