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%Tapuscrit : Denis Vergès et Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles-Guyane juin 2008~\decofourright }}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois  réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier  le choix effectué.}

\medskip

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur moyenne sur l'intervalle 
$[-1~;~2]$ de la fonction $f$ définie par 

$f(x)  = 6x^2 + 3$ est :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet~$~~$-8$&$\bullet~$~~$0$&$\bullet~$~~$9$\\
\end{tabularx} 
\item   Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln \left(\dfrac{2}{x} \right)$.

La limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est égale à :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet~$~~$-\infty$&$\bullet~$~~$0$&$\bullet~$~~$1$\\
\end{tabularx} 
\item  L'ensemble des solutions dans $\R$ de l'inéquation $\ln (3 -x) \leqslant 0$\: est l'intervalle :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet~$~~$[3~;~+\infty[$&$\bullet~$~~$[2~;~3[$&$\bullet~$~~$[2~;~+ \infty[$\\
\end{tabularx} 
\item  Pour tous réels $a$ et $b$, strictement positifs,  $\ln (ab) - \ln\left(a^2\right)$ est égal  à : 

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet~$~~$\ln \left( \dfrac{b}{a}\right)$&$\bullet~$~~  $\ln (b- a)$&$\bullet~$~~$\dfrac{\ln b}{\ln a}$\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une ville ne dispose que d'un cinéma de quartier dans le centre et d'un cinéma multiplexe en  périphérie. Des films français et des films étrangers sont projetés dans les deux cinémas.

On sait que, parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~ $] 75\,\%  préfèrent le cinéma multiplexe. 
\item[$\bullet~ $] 60\,\% des personnes qui préfèrent le cinéma de quartier vont voir de préférence les  films français.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit au hasard un spectateur parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans  cette ville.

On note respectivement $M$, $Q$, $F$ et $E$ les évènements suivants :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $M$ : \og le spectateur préfère le cinéma multiplexe \fg{} ; 
\item[] $Q$ : \og  le spectateur préfère le cinéma de quartier \fg{}  ; 
\item[] $F$ : \og  le spectateur préfère les films français \fg{}  ; 
\item[] $E$ : \og  le spectateur préfère les films étrangers \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au centième.} 

\emph{On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma de quartier et préfère  les films étrangers est 0,1. 
\item  70\,\% des personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville préfèrent les films  étrangers.

Quelle est la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma multiplexe et préfère les films étrangers ? 
\item  Le spectateur choisi préfère les films étrangers. Quelle est la probabilité qu'il préfère le  cinéma de quartier ? 
\item  On choisit au hasard et de façon indépendante trois spectateurs parmi les personnes qui  vont régulièrement au cinéma dans cette ville. Quelle est la probabilité qu'au moins un  d'entre eux préfère les films étrangers ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un ciné-club qui projette des films français et étrangers dispose de deux salles. Les abonnés  au ciné-club assistent systématiquement à une projection chaque lundi soir.
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film français à une séance retourne voir  un film français à la séance suivante est égale à $0,6$. 
\item[$\bullet~$] La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film étranger à une séance aille voir un  film français à la séance suivante est égale à $0,75$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Un lundi soir, un film français est projeté dans chacune des deux salles. Puis les semaines  suivantes, le ciné-club propose dans une salle un film français et dans l'autre un film étranger.

On cherche à étudier l'évolution de la répartition des spectateurs entre les deux salles au cours  des semaines suivantes, à partir de ce lundi. 
\begin{enumerate}
\item  On note A l'état : \og le spectateur voit un film français \fg.

On note B l'état : \og le spectateur voit un film étranger \fg.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste. 
		\item  On note $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. Justifier que $M = \begin{pmatrix}
0,6 & 0,4\\
0,75& 0,25\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item Soient A$_{n}$ l'évènement : \og Le spectateur voit un film français à la $n$-ième séance \fg{} et B$_{n}$
l'évènement : \og  Le spectateur voit un film étranger à la $n$-ième séance \fg.

L'état probabiliste de la répartition des abonnés dans les deux salles lors de la $n$-ième  séance est donné par la matrice ligne $T_{n} = \left(a_{n} \quad b_{n}\right)$ ou $a_{n} = P\left(\text{A}_{n}\right),{} b_{n}= P\left(\text{B}_{n}\right)$ et 
$a_{n} + b_{n} =1$.
 
L'état probabiliste initial est donc donné par $T_{1} = (1\quad  0)$.

Déterminer les matrices $T_{2}$ et $T_{3}$. En donner une interprétation en termes de répartition des abonnés dans les deux salles.

\medskip
 
\item Déterminer la valeur arrondie au centième des réels $x$ et $y$ définissant l'état limite 
$T = (x \quad  y)$ vers lequel converge la suite $\left(T_{n}\right)$. Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'adhérents d'un club de rugby de 2001 à 2006.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\\hline
Rang $x_{i}$ 				&1		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
Nombre d'adhérents $y_{i}$	&70		&90		&115	&140	&170	&220\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On cherche à étudier l'évolution du nombre $y$ d'adhérents en fonction du rang $x$ de l'année.

\medskip

\textbf{Partie A:} un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 20~adhérents sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent \emph{(aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à l'unité)}.
\item En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'adhérents en 2007.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} un ajustement exponentiel.

\medskip

On pose $z=\ln y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$	&1			&2	&3	&4	&5	&6\\\hline
$z_{i}$	&\np{4,248}	& 	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés 
 \emph{(aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième)}.
\item En déduire une approximation du nombre d'adhérents $y$ en fonction du rang $x$ de l'année.
\item En prenant l'approximation $y\simeq\np{57,1}\textrm{e}^{\np{0,224}x} $ et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'adhérents en 2007.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C: } comparaison des ajustements.

\medskip

En 2007, il y a eu 280 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent ?

Justifier la réponse.

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4  \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

La tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A$(0~;~-2)$ passe par le point B$(2~;~- 4)$.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(4,19)
\multido{\n=-3+0.25}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,-6)(\n,19)}
\multido{\n=-6+1}{26}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt,linecolor=orange](-3,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3,-6)(4,19)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1pt]{-3}{4}{x neg  2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=8000]{-3}{2.95}{2.71828 x exp x 2 sub mul}
\uput[r](3,18.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](3,-5){$\mathcal{D}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,-4)(0,-2)
\uput[ur](0,-2){A}\uput[ur](2,-4){B}\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,19){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur de $f(0)$. 
		\item  Justifier que : $f^{\prime}(0) = - 1$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x,$
		
$f(x) = (x + a)\text{e}^{bx}$.

Vérifier que pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (bx + ab + 1)\text{e}^{bx}$. 
		\item Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère maintenant la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par

\[ f(x) = (x - 2)\text{e}^x. \]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Donner l'expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$ ; en déduire le sens de variation de la  fonction $f$ sur l'ensemble des réels $\R$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x).$
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x).$(on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x =  0.$)
		 
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ définie par $g(x) = (x - 3)\text{e}^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer  $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\:\text{d}x$. 
		\item Préciser le signe de $f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [2 ; 3].
		
Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la  courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =2$ et $x =3$.

\emph{Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dixième.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}