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% Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large{ \textbf{ 
\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2008~\decofourright
 }}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Soit l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 3\text{e}^{-3x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$.
\item En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =
\dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E$'$).
\item  Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item  En remarquant que $f = g +h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$.
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$.
\item  Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère.
\item  Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item  Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On exprimera cette aire en
cm$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher.

\medskip

$U_{1}$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ boules noires.
 
$U_{2}$ contient $2$ boules blanches et une boule noire.

\medskip

On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$. On tire ensuite, au hasard, une
boule dans $U_{2}$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

\medskip

On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire)
dans l'urne $U_{1}$ \fg.

On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$ \fg.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous :
		
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$N_{1}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} 
	  }	
}
\end{center}

	\end{enumerate}
	 Montrer que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est égale à
$\dfrac{3k + 6}{4k + 12}$.

\medskip

\textbf{Dans la suite on considère que} \boldmath$k = 12$.\unboldmath
 
\textbf{Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.}
\item Un joueur mise $8$~euros et effectue une épreuve.

Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit $12$~euros.

Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $-8$.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		\item  Le jeu est-il favorable au joueur ?
	\end{enumerate}
\item Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu.

Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient $12$ boules blanches et $3$ noires, et l'urne $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'évènement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation 

\[(\text{E}) :\qquad  11x - 26y = 1,\]

où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que le couple $(-7~;~-3)$ est solution de (E).
\item  Résoudre alors l'équation (E).
\item  En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A& B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M\\ \hline
0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline \hline
N& O& P& Q& R& S& T& U& V& W& X& Y& Z\\ \hline
13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On \og code \fg{} tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  on calcule $11x + 8$
\item  on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par 26, que l'on appelle $y$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$x$ est alors \og codé \fg{} par $y$.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; $11 \times 11 + 8 = 129$ or 

$129 \equiv 25 \:(0 \:\text{modulo}\: 26)$ ; $25$ est le reste de la division euclidienne de $129$ par $26$. Au nombre $25$ correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.
\begin{enumerate}
\item  Coder la lettre W.
\item  Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a :

\[11x \equiv j\quad (\text{modulo}~ 26)~ \text{équivaut à}~ x \equiv 19j  (\text{modulo}~ 26).\]

		\item  En déduire un procédé de décodage.
		\item  Décoder la lettre W.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ;\\
une réponse inexacte enlève $0,25$ point ;\\
l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\
Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 6y + 2z - 7&=& 0\\
-x + 3y - z + 5	&=& 0\\
\end{array}\right.$
est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
Réponse \textbf{A} : l'ensemble vide& Réponse \textbf{B} : une droite\\
Réponse \textbf{C} : un plan &Réponse \textbf{D} : réduit à un point\\
\end{tabularx}
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
x &=& 1 - t\\
y &=& - 1 + t\\ 
z &=& 2 - 3t\\
\end{array}\right. (t \in  \R) \quad 
\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l cl}
x &=& 2 + t \\
y &=& - 2- t \\ 
z &=& 4 + 2t \\
\end{array}\right.  (t \in \R)~
\text{sont :}\]
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
Réponse \textbf{A} : parallèles et distinctes& Réponse \textbf{B} : confondues\\
Réponse \textbf{C} : sécantes				& Réponse \textbf{D} : non coplanaires\\
\end{tabularx}
\item La distance du point A$(1~;~- 2~;~1)$ au plan d'équation $- x + 3y - z + 5 = 0$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
Réponse \textbf{A} : $\dfrac{3}{11}$&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}Réponse \textbf{B} :  $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$\\
Réponse \textbf{C} : $\dfrac{1}{2}$ &Réponse \textbf{D} : $\dfrac{8}{\sqrt{11}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le projeté orthogonal du point B(1~;~6~;~0) sur le plan d'équation 

$- x + 3y - z + 5 = 0$ a pour coordonnées :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
Réponse \textbf{A} : (3~;~1~;~5)& Réponse \textbf{B} : (2~;~3~;~1)\\
Réponse \textbf{C} : (3~;~0~;~2)& Réponse \textbf{D} : $(-2~;~3~;~-6)$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice.

\textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie.}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point A a pour affixe i.
 
On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$  avec $z\neq \text{i}$  associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}\]
Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Un exemple}

On considère le point K d'affixe $1+\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point K.
		\item  Déterminer l'affixe du point K$'$ image de K par $f$.
		\item  Placer le point K$'$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Des points pour lesquels le problème ne se pose pas}
	\begin{enumerate}
		\item On considère le point L d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Déterminer son image L$'$  par $f$. Que remarque-t-
on ?
		\item Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
		
Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Un procédé de construction}

On nomme $G$ l'isobarycentre des points A, $M$, et $M'$, et $g$ l'affixe de $G$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier l'égalité $g = \dfrac{1}{3(z - \text{i} )}$.
		\item En déduire que : si $M$ est un point du cercle de centre A de rayon $r$ , alors G est un point du cercle de centre O de rayon $\dfrac{1}{3r}$.
		\item Démontrer que arg $g = - \left(\vect{u}~  ;~\vect{\text{A}M}\right)$.
		\item Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}.$
		
On nomme D$'$ l'image de D par $f$ . Déduire des questions précédentes la construction du point D$'$ et la réaliser sur \textbf{la figure annexe à rendre avec la copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
\end{center}
Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que $\vect{u} = \vect{\text{OI}}$ est partagé en six segments d'égale longueur.

\begin{center}
\vspace{1cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-3)(3,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.25,-3)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](0,1){A} \uput[u](1,0){I}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.433,1.25)
\uput[ur](0.433,1.25){D}
\pscircle(0,1){0.5}
\multido{\n=0+0.166667}{7}{\psline(\n,-0.04)(\n,0.04)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}