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% Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Vincent Toleron
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{juin 2007}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2007~\decofourright
 }}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Question de cours}

\smallskip

Prérequis: positivité et linéarité de l'intégrale.

Soient $a$ et $b$ deux réels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ tels que $a\leqslant b$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x\geqslant\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel supérieur ou égal à 1.

Calculer en fonction de $x$ l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)\:\text{d}t$.
\item Démontrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a : 

\[2 - t\leqslant \dfrac1t.\]

\item Déduire de ce qui précède que pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 1, on a :

\[-\frac12x^2 + 2x- \frac32 \leqslant \ln x.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[h(x)= - \dfrac12x^2 + 2x- \dfrac32.\]

Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions $h$ et logarithme népérien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a a tracé également la droite $(d)$ d'équation $x = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x)\:\text{d}x=0$.
		\item Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.
	\end{enumerate}
\item On note $(D)$ le domaine du plan délimité par la droite $(d)$ et les courbes représentatives des fonction $h$ et logarithme népérien sur l'intervalle $[1~;~4]$.

En utilisant un intégration par parties, calculer l'aire de $(D)$ en unités d'aire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

\Ouv{} est un  repère orthonormal direct du plan complexe.

Soit $A$ le point d'affixe $1+ \text{i}$.

Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z'=\dfrac12\left(z+\text{i}\overline{z}\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+\text{i}y$ et $z'=x'+\text{i}y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer les égalités suivantes : 
		$x'=\dfrac{1}{2}(x + y)$ et $y'=\dfrac{1}{2}(x + y)$.
		
En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(\text{O}A)$.
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M = M'$.
		\item Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{\text{O}A}$ sont orthogonaux.
	\end{enumerate}	
\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac\pi2$. $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}$ image de $M$ par $r$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $\text{O}M_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+\text{i}$, placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$.
		\item Exprimer $z_{1}$ en fonction de $z$, puis $z_{3}$ en fonction de $z$.
		\item $OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange~? Justifier.
		\item Vérifier que $z'-z=\dfrac12 \text{i}z_{3}$.
		
En déduire que $MM'=\dfrac12\text{O}M_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si $MM'=\dfrac12\text{O}M$.

Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'\text{O}M}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\Ouv{} est un  repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1~cm).

On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+\text{i}$.

On note $S_{1}$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 3.

On pose $s=h\circ S_{1}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point $A$ et compléter la figure au fur et à mesure.
\item Quelle est la nature de la transformation $s$~? Justifier.
\item Déterminer l'écriture complexe de la transformation $s$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $z_{B}$ du point $B$ image de $A$ par $s$.
		\item Montrer que $z_{B}=-3\text{i}z_{A}$. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}A},\vect{\text{O}B}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soient $M$ le milieu de $[AB]$ et $P$ l'image de $M$ par $s$. Montrer que la droite $(\text{O}P)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $C = s(B)$. Montrer que $P$ est le milieu de $[BC]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $s \circ s$ et en déduire sa nature.
		\item Montrer que l'image de la droite $(\text{O}P)$ par $s$ est la droite $(OM)$.
		\item Que représente le point $M$ pour le triangle O$BP$~? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk. On considère les points $A(3~;~0~;~6)$ et $I(0~;~0~;~6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$.

On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y - 2z + 12 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$  est la droite $(D)$.
\item Démontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et déterminer les coordonnées des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\item Démontrer qu'une équation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\vect{AC}$ est

\[x + 4y + 2z - 12 = 0.\]

\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(OA)$.

Démontrer que la droite $(\text{O}A)$ et le plan $(T)$ sont sécants en un point $H$ dont on déterminera les coordonnées.
\item Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-13,-3)(9,10)
\pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B}
\pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I}
\pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I)
\pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A}
\psline(N)(C)
\psline[linestyle= dotted](C)(D)
\psline(D)(B)
\psline[linestyle= dotted](B)(G)
\psline(G)(R)
\psline(O)(J)
\psline[linestyle= dotted](J)(I)
\psline(I)(Q)
\psline(S)(T)
\psline(O)(P)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z)
\psline(C)(A)
\psline[linestyle=dotted](A)(K)
\psline(K)(B)
\uput[-45](E){$(Q)$}
\uput[-45](H){$(P)$}
\uput[45](T){$(D)$}
\uput[45](P){\tiny$x$}
\uput[-45](R){\tiny$y$}
\uput[-45](Q){\tiny$z$}
\uput[180](X){$\tiny\vect{i}$}
\uput[135](Y){$\tiny\vect{j}$}
\uput[-135](Z){$\tiny\vect{z}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte aux questions $1$ et $2$ rapporte $0,5$ point et à la question $3$ rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}

\medskip

On s'intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d'une boite de vitesses automatique.

Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte.

L'usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2.

Le sous-traitant S1 produit 80\,\% des pièces de type P1 et 40\,\% de pièces de type P2.

Le sous-traitant S2 produit 20\,\% des pièces de type P1 et 60\,\% de pièces de type P2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un employé de l'usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type.

Il tire une pièce au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que ce soit une pièce P1 est

\[\np{0,8}\qquad\qquad\np{0,5}\qquad\qquad\np{0,2}\qquad\qquad\np{0,4}\qquad\qquad\np{0,6}\]

		\item La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu'elle vienne de S1 est

\[\np{0,1}\qquad\qquad\np{0,2}\qquad\qquad\np{0,3}\qquad\qquad\np{0,4}\qquad\qquad\np{0,5}\]

		\item La probabilité qu'elle vienne de S1 est
$$\np{0,2}\qquad\qquad\np{0,4}\qquad\qquad\np{0,5}\qquad\qquad\np{0,6}\qquad\qquad\np{0,8}$$

	\end{enumerate}

\item Il y a $200$ pièces au total. Cette fois l'employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est :
		
\[\np{0,1588}\qquad\qquad \np{0,2487}\qquad\qquad \np{0,1683}\qquad\qquad \np{0,0095}\]

		\item Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité que ce soit deux pièces P1  et P2 est:
		
\[ \np{0,5000}\qquad\qquad \np{0,2513}\qquad\qquad \np{0,5025}\]

		\item La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est:
\[\frac{357}{995}\qquad\qquad \dfrac{103}{199}\qquad\qquad \dfrac{158}{995}\]

	\end{enumerate}
\item La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre $\lambda$ est donné dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$\lambda$ & P1 & P2 \\
\hline
S1 & \np{0,2} & \np{0,25}\\
\hline
S2 & \np{0,1} & \np{0,125}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On rappelle que si $X$, durée de vie d'une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^t\lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{d}x$.

Une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est :
\[ \np{0,3679}\qquad\qquad \np{0,6321}\]
\end{enumerate}

\begin{figure}[hb]
\caption{Annexe (à rendre avec la copie)}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.2 0.2 0}

\vspace{2cm}

\small{
\psset{xunit=2.5cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.4,-1.75)(4.56,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,gridwidth=1.25pt,subgridwidth=0.6pt,griddots=10,subgridcolor=orange](0,-2)(4,2)
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(0,-1.75)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.0}{4.0}{ln(x)}
\psplot[linecolor=darkgray,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.0}{4.0}{-x^2/2+2*x-3/2}
\psline(4,-1.75)(4,1.93)
\uput[d](4.15,-0.02){$x$}
\rput[tl](-0.19,1.87){$y$}
\rput[bl](0.48,-0.19){$\vect{i}$}
\rput[bl](0.04,0.56){$\vect{j}$}
\end{pspicture*}
\end{figure}}
\end{document}