%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} % Sujet aimablement fourni par François Cosmo %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{18 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{ \Large{ \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2008~\decofourright }}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\] \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Soit l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 3\text{e}^{-3x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$. \item En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x}$ est solution de (E$'$). \item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E). \item En remarquant que $f = g +h$, montrer que $f$ est une solution de (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$. \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$. \item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère. \item Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \item Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On exprimera cette aire en cm$^2$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ contenant des boules indiscernables au toucher. \medskip $U_{1}$ contient $k$ boules blanches ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ boules noires. $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et une boule noire. \medskip On tire une boule au hasard dans $U_{1}$ et on la place dans $U_{2}$. On tire ensuite, au hasard, une boule dans $U_{2}$. L'ensemble de ces opérations constitue une épreuve. \medskip On note $B_{1}$ (respectivement $N_{1}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{1}$ \fg. On note $B_{2}$ (respectivement $N_{2}$) l'évènement \og on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l'urne $U_{2}$ \fg. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter par les probabilités manquantes l'arbre ci-dessous : \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$B_{1}$~}\taput{\ldots}} { \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$N_{1}$~}\tbput{\ldots}} { \TR{$B_{2}$}\taput{\ldots} \TR{$N_{2}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \end{enumerate} Montrer que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est égale à $\dfrac{3k + 6}{4k + 12}$. \medskip \textbf{Dans la suite on considère que} \boldmath$k = 12$.\unboldmath \textbf{Les questions 2 et 3 sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.} \item Un joueur mise $8$~euros et effectue une épreuve. Si, à la fin de l'épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit $12$~euros. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $- 8$. \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \item Le jeu est-il favorable au joueur ? \end{enumerate} \item Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu. Au début de chaque épreuve, l'urne $U_{1}$ contient $12$ boules blanches et $3$ noires, et l'urne $U_{2}$ contient $2$ boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes. Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l'évènement $B_{2}$ soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation \[(\text{E}) :\qquad 11x - 26y = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(-7~;~-3)$ est solution de (E). \item Résoudre alors l'équation (E). \item En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A& B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M\\ \hline 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline \hline N& O& P& Q& R& S& T& U& V& W& X& Y& Z\\ \hline 13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On \og code \fg{} tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item on calcule $11x + 8$ \item on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par 26, que l'on appelle $y$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $x$ est alors \og codé \fg{} par $y$. Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; $11 \times 11 + 8 = 129$ or $129 \equiv 25 \:(0 \:\text{modulo}\: 26)$ ; $25$ est le reste de la division euclidienne de $129$ par $26$. Au nombre $25$ correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z. \medskip \begin{enumerate} \item Coder la lettre W. \item Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a : \[11x \equiv j\quad (\text{modulo} \:26)~ \text{équivaut à}\: x \equiv 19j (\text{modulo}\: 26).\] \item En déduire un procédé de décodage. \item Décoder la lettre W. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point.\\ Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c l} 2x - 6y + 2z - 7&=& 0\\ -x + 3y - \phantom{2}z + 5 &=& 0\\ \end{array}\right.$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : l'ensemble vide& Réponse \textbf{B} : une droite\\ Réponse \textbf{C} : un plan &Réponse \textbf{D} : réduit à un point\\ \end{tabularx} \item Les droites de représentations paramétriques respectives : \[\left\{\begin{array}{l cl} x &=& \phantom{-}1 - t\\ y &=& - 1 + t\\ z &=& \phantom{-}2 - 3t\\ \end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l cl} x &=& \phantom{-}2 + t \\ y &=& - 2- t \\ z &=& \phantom{-}4 + 2t \\ \end{array}\right. (t \in \R)~ \text{sont :}\] \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : parallèles et distinctes& Réponse \textbf{B} : confondues\\ Réponse \textbf{C} : sécantes & Réponse \textbf{D} : non coplanaires\\ \end{tabularx} \item La distance du point A$(1~;~- 2~;~1)$ au plan d'équation $- x + 3y - z + 5 = 0$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : $\dfrac{3}{11}$&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}Réponse \textbf{B} : $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$\\ Réponse \textbf{C} : $\dfrac{1}{2}$ &Réponse \textbf{D} : $\dfrac{8}{\sqrt{11}}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Le projeté orthogonal du point B(1~;~6~;~0) sur le plan d'équation $- x + 3y - z + 5 = 0$ a pour coordonnées : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} Réponse \textbf{A} : (3~;~1~;~5)& Réponse \textbf{B} : (2~;~3~;~1)\\ Réponse \textbf{C} : (3~;~0~;~2)& Réponse \textbf{D} : $(-2~;~3~;~-6)$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice. \textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie.} \medskip Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point A a pour affixe i. On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq \text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}\] Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Un exemple} On considère le point K d'affixe $1+\text{i}$. \begin{enumerate} \item Placer le point K. \item Déterminer l'affixe du point K$'$ image de K par $f$. \item Placer le point K$'$. \end{enumerate} \item \textbf{Des points pour lesquels le problème ne se pose pas} \begin{enumerate} \item On considère le point L d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Déterminer son image L$'$ par $f$. Que remarque-t- on ? \item Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image. Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes. \end{enumerate} \item \textbf{Un procédé de construction} On nomme $G$ l'isobarycentre des points A, $M$, et $M'$, et $g$ l'affixe de $G$. \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité $g = \dfrac{1}{3(z - \text{i} )}$. \item En déduire que : si $M$ est un point du cercle de centre A de rayon $r$ , alors G est un point du cercle de centre O de rayon $\dfrac{1}{3r}$. \item Démontrer que arg $g = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right)$. \item Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon $\dfrac{1}{2}.$ On nomme D$'$ l'image de D par $f$. Déduire des questions précédentes la construction du point D$'$ et la réaliser sur \textbf{la figure annexe à rendre avec la copie.} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \end{center} Sur la figure ci-dessous le segment [OI] tel que $\vect{u} = \vect{\text{OI}}$ est partagé en six segments d'égale longueur. \begin{center} \vspace{1cm} \psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.25,-3)(3,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.25,-3)(3,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](0,1){A} \uput[u](1,0){I} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.433,1.25) \uput[ur](0.433,1.25){D} \pscircle(0,1){0.5} \multido{\n=0+0.166667}{7}{\psline(\n,-0.04)(\n,0.04)} \end{pspicture} \end{center} \end{document}