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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{juin 2002}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
S Antilles--Guyane juin 2002~\decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société 
immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant 
l'été. On sait que $20\,\%$ des chaudières sont sous garantie. 

Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu'une chaudière 
soit défectueuse est de $\dfrac{1}{100}$. 

Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité 
qu'une chaudière soit défectueuse est de $\dfrac{1}{10}$.

On appelle $G$ l'évènement suivant : \og la chaudière est sous 
garantie \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité des évènement suivants : 

$A$ : \og la chaudière est garantie et est défectueuse \fg{} ; 

$B$ : \og la chaudière est défectueuse \fg. 
\item Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que 
la probabilité qu'elle soit sous garantie est de $\dfrac{1}{41}$. 
\item Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. 
Il coûte $80$~euros si la chaudière n'est plus sous garantie et n'est pas 
défectueuse. Il coûte $280$~euros si la chaudière n'est plus sous garantie et est défectueuse. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d'une chaudière. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique. 
\item Au cours de la période de contrôle, on a trouvé $5$~chaudières 
défectueuses. Quelle est la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles soit 
sous garantie ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}  

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, 
(unité graphique 2~cm).

On considère les points I et A d'affixe respectives 1 et $- 2$. 
Le point K est le milieu du segment [IA].

On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [IA]. Faire une 
figure et la compléter au fur et à mesure. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit B le point d'affixe $b = \dfrac{1 + 4\text{i}}{1 - 2\text{i}}$. Écrire $b$ sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle $(\mathcal{C})$. 
\item Soit D le point du cercle $(\mathcal{C})$ tel que 
l'angle $\left(\vect{\text{KI}},~ \vect{\text{KD}}\right) = 
\dfrac{\pi}{3} + 2 k \pi$ où $k$ est un entier relatif et soit $d$ l'affixe de D. 
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le module de $d + \dfrac{1}{2}$~ ? Donner un argument de 
$d + \dfrac{1}{2}$. 
		\item En déduire que $d = \dfrac{1}{4} + 3 \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. 
		\item Déterminer un réel $a$ vérifiant l'égalité $\dfrac{1 + 2\text{i}a} 
{1 - \text{i}a} = \dfrac{1}{4} + 3\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $x$ un réel non nul et $M$ le point d'affixe $m = 
\dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x}$. On pose $Z = \dfrac{(m -1)}{ (m + 2)}$. 
Calculer $Z$ et en déduire la nature du triangle AI$M$. 
\item Soit $N$ un point, différent de A du cercle $(\mathcal{C})$ et 
$n$ son affixe. 

Démontrer qu'il existe un réel $y$ tel que $n = 
\dfrac{1 + 2\text{i}y}{1 - \text{i}y}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct 
$\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ 
(unité graphique 4 cm) 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère les points A, B , C , D et E d'affixes respectives : 

\[Z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} ,~Z_{\text{B}} = 
\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}},~ Z_{\text{C}} = - 1,~Z_{\text{D}} = - 
\text{i}~ \text{et}~ Z_{\text{E}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Faire la figure 
		\item Montrer que EA = ED et que EB = EC. Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC] 
		\item Déterminer les points K et L images respectives de A et de B par la 
translation $t$ de vecteur $\vect{\text{OI}}$. Placer les points K et L 
sur la figure. 
	\end{enumerate} 
\item On considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $Z$ 
associe le point $M'$ d'affixe $Z' = \left(\dfrac{1}{2} - 
\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z}$ où $\overline{Z}$ désigne le conjugué de $Z$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier l'égalité $F = R ~\circ~ S$ où $S$ est la réflexion ou symétrie axiale d'axe (OI) et $R$ une rotation dont on précisera le centre et l'angle. 
		\item Montrer que $F$ est une réflexion dont on précisera l'axe. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $G$ l'application qui, à tout point $M$ 
d'affixe $Z$ associe le point $M''$ dont l'affixe $Z''$ définie par la formule 
$Z'' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z} + 
1$. 

Déterminer une application $T$ telle que $G = T ~\circ~ F$. En déduire que $G$ est un antidéplacement. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on considère les fonctions $f_n$ définies 
sur $\R$ par
 
\[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{(1 - n)x}}{1 + \text{e}^x}.\] 

\medskip 

\textbf{Partie A - Étude de \boldmath $f_0$ \unboldmath 
\textbf{et de} \boldmath $f_1$ \unboldmath}

\medskip

On appelle $f_0$ la fonction définie par $f_0(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + 
\text{e}^x}$.

On appelle $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ les courbes représentatives respectivement de $f_0$ et de $f_1$ dans un repère orthonormal  \Oij~ (unité graphique 5 cm). 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f_0$ en $- \infty$ puis 
en $+ \infty$. 
\item Calculer la dérivée de $f_0$ et étudier son sens de variation. 
\item Montrer que le point I$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ est un 
centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_0$. 
\item Déterminer une équation de la tangente en I à $\mathcal{C}_0$. 
\item Montrer que pour tout réel $x,~f_1(- x) = f_0(x)$. 
\item Par quelle transformation simple $\mathcal{C}_1$ est-elle 
l'image de $\mathcal{C}_0$ ? Construire $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B Calcul d'une aire} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x,~ f_0(x) + f_1(x) = 1$. 
\item Soit $a$ un réel positif ou nul. Calculer 
$\displaystyle\int_0^a f_0(x)\: \text{d}x$ puis $\displaystyle\int_0^a f_1(x)\: \text{d}x$. 
\item En déduire l'aire $\mathcal{A}(a)$ de la partie du plan 
définie par 

\[ \left\{ \begin{array}{l c l} 
0 & \leqslant x \leqslant & a \\ 
f_{1}(x) & \leqslant y \leqslant & 1 
\end{array}\right.\] 

\item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand 
$a$ tend vers $+ \infty$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie C Étude d'une suite}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{0}$ et $u_{1}$. 
\item Montrer que pour tout entier $n,~ u_{n+1} + u_{n} = 
\dfrac{1}{n} \times \dfrac{\text{e}^n - 1}{\text{e}^n}$. 
\item En déduire la limite quand $n$ tend vers $+ 
\infty$ de $u_{n+1} + u_{n}$. 
\item Montrer que pour tout réel $x$ de [0 ;1]~ 
\[\dfrac{\text{e}^{(1-n)x}}{1 + \text{e}^x} \geqslant 
\dfrac{\text{e}^{- nx}}{ 1 + \text{e}^x}.\] 
\item En déduire le sens de variations de la suite 
$\left(u_{n}\right)$ puis la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}
\end{document} 