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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une ou deux des réponses} proposées sont correctes.\\
Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de \np{0,25} point.\\
Il n'y a pas de pénalité en cas d'absence de réponse. Aucune justification n'est attendue.\\
Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l'exercice est 0.}

\smallskip

\textbf{Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maximum).}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.

La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à:

\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:~~}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac58$ & $\dfrac{21}{32}$ & $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{3}{8}$
\end{tabular}
\end{center}
\item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.

La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:~~}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac{105}{248}$ & 
$\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}$ & 
$\dfrac{21^2}{32^2}$ & 
$\dfrac{5^2}{8^2}$
\end{tabular}
\end{center}
\item On suppose que la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$.

La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15~min et 20~min est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:~~}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:~~}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac{1}{3}$ & 
$\dfrac{1}{5}$ & 
$\dfrac{1}{12}$ & 
$\dfrac14$
\end{tabular}
\end{center}
\item On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à \np{0,15}.

La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
 0,35 à $10^{-2}$ près			& 
 $0,85^9$ 						& 
 $0,85^9\times 0,15$ 		& 
 $0,85^9\times0,15\times 10$
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

\smallskip

Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{r !{=} lc}
\Omega M'& \Omega M & (1)\\
\left(\vect{\Omega M}~;~\vect{\Omega M'}\right) & \theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.

Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$

\end{enumerate}
\item 
Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation:

\[z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0.\]

On donnera les solutions sous forme algébrique.
\item Soient A et B les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2\text{\,i}$ et $b = 2\sqrt{3}+2\text{\,i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
		\item Faire une figure et placer les points A et B.
		\item Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
	\end{enumerate}
\item Soit C le point d'affixe $c= -8\text{\,i}$ et D son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Placer les points C et D.

Montrer que l'affixe du point D est $d=4\sqrt{3}+4\i$.
\item Montrer que D est l'image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.
\item Montrer que OAD est un triangle rectangle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes:
\begin{description}
\item[Propriété 1 :] Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet  une expression complexe de la forme $z'=a\overline{z}+b$ où $a\in\C^*$ et $b\in\C$.
\item[Propriété 2 :] Soit C une point d'affixe $c$. Pour tout point D, distinct de C, d'affixe $d$ et pour tout point E, distinct de C, d'affixe $e$, on a:

\[\left(\vect{\text{CD}}~;~\vect{\text{CE}}\right)=\arg\left(\dfrac{e-c}{d-c}\right)~~(2\pi).
\]

\end{description}
\emph{\textbf{Question:}} Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.

\item Soient les points C et D d'affixes respectives $c=3$ et $d=1-3\i$, et  $\mathcal{S}_1$ la similitude qui à tout point $M$ du plan associe le point $M_1$ symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ des réels.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points C et D puis leurs images respectives C$_1$ et D$_1$ par $\mathcal{S}_1$. On complètera le figure au fur et à mesure de l'exercice.
		\item Donner l'expression complexe de $\mathcal{S}_1$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $\mathcal{S}_2$ la similitude directe définie par :

\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item le point C$_1$ et son image C$'$ d'affixe $c'=1+4\text{\,i}$;
		\item le point D$_1$ et son image D$'$  d'affixe $d'=-2+2\text{\,i}$.
	\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'expression complexe de $\mathcal{S}_2$ est : $z'=\text{i} z+1+\text{i}$.
		\item En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{S}$ la similitude définie par $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$.

Déterminer l'expression complexe de $\mathcal{S}$.
\item On pourra admettre désormais que $\mathcal{S}$ est la similitude indirecte d'expression complexe:

\[z'=\text{i\,}\overline{z}+1+\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de C par $\mathcal{S}$~? Quelle est l'image de D par $\mathcal{S}$~?
		\item Soit H le point d'affixe $h$ tel que: $h-c=\text{e}^{\text{\,i}\frac{\pi}{3}}(d - c)$.

Montrer que le triangle CDH est équilatéral direct.
		\item Soit H$'$ l'image de $H$ par $\mathcal{S}$. Préciser la nature du triangle C$'$D$'$H$'$ et construire le point H$'$ (on ne demande pas de calculer l'affixe $h'$ du point H$'$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $I = [-3~;~8]$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(8,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridwidth=0.5pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\small](0,0)(-4,-2)(8,4)
%\psset{showpoints=true}
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt}
\psbezier(-3,-0.78)(-0.7,-0.7)(-0.5,-0.5)(0,0)
\psbezier(0,0)(1,1)(0.7,3)(2,3)
\psbezier(2,3)(3.3,3)(3,1)(4,0)
\psbezier(4,0)(4.5,-0.5)(4.7,-0.7)(8,-0.8)
\uput[u](7.85,0){$x$} \uput[r](0,3.85){$y$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On définit la fonction $F$ sur $I$, par $F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\text{d}t$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut $F(0)$~?
		\item Donner le signe de $F(x)$:
\begin{itemize}
\item pour $x \in[0~;~4]$;
\item pour $x \in[-3~;~0]$.
\end{itemize}
Justifier les réponses.
		\item Faire figurer sur le graphique donné en \textbf{ANNEXE} les éléments permettant de justifier les inégalités 
$6\leqslant F(4)\leqslant 12$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Que représente $f$ pour $F$~?
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $F$ sur $I$. Justifier la réponse à partir d'une lecture graphique des propriétés de $f$.
	\end{enumerate}
\item On dispose de deux représentations graphiques sur $I$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
Courbe A& & Courbe B \\
%\includegraphics[width=5.5cm]{C1bis.eps}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(9,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-4,0)(9,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,0)(9,11)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,2.25)(-2.5,2.08)(-2,1.76)(-1.5,1.4)(-1,1.15)(-0.5,1.05)(0,1)(0.5,1.2)(1,1.95)(1.5,3.4)(2,5.2)(2.5,7.4)(3,8.85)(3.5,9.9)(4,10.2)(4.5,9.9)(5,9.1)(5.5,7.6)(6,6.3)(6.5,4.8)(7,3.7)(7.5,3)(8,2.3)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{8}{2.71828 1.3863 x mul  x dup mul 0.346574 mul sub exp x sub}
\uput[u](8.5,0){\scriptsize $x$} \uput[r](0,10.5){\scriptsize $y$} 
\end{pspicture} 
&&
%\includegraphics[width=5.5cm]{C2.eps}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(9,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-4,0)(9,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,0)(9,11)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,2.3)(-2.5,1.7)(-2,1.2)(-1.5,0.8)(-1,0.4)(-0.5,0.18)(0,0)(0.5,0.2)(1,0.65)(1.5,1.4)(2,2.3)(2.5,3.15)(3,3.95)(3.5,4.5)(4,4.8)(4.5,4.77)(5,4.6)(5.5,4.4)(6,4.18)(6.5,3.93)(7,3.6)(7.5,3.3)(8,3)
\uput[u](8.5,0){\scriptsize $x$} \uput[r](0,10.5){\scriptsize $y$} 
\end{pspicture}
\end{tabular}

\end{center}
L'une de ces courbes peut-elle représenter la fonction $F$~? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = x - x\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et $+\infty$.
\item Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et que $g'(x) = -\ln x$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=\dfrac{\text{e}^n}{n^n}$.
\begin{enumerate}
\item Conjecturer, à l'aide de la calculatrice :
	\begin{enumerate}
		\item le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$;
		\item la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $v_n = \ln \left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_n = n - n\ln n$.
		\item En utilisant la \textbf{Partie A}, déterminer le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est bornée.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.25cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\vspace{0.25cm}

Commun à tous les candidats

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(8,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridwidth=0.5pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\small](0,0)(-4,-2)(8,4)
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt}
\psbezier(-3,-0.78)(-0.7,-0.7)(-0.5,-0.5)(0,0)
\psbezier(0,0)(1,1)(0.7,3)(2,3)
\psbezier(2,3)(3.3,3)(3,1)(4,0)
\psbezier(4,0)(4.5,-0.5)(4.7,-0.7)(8,-0.8)
\uput[d](7.5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}