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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\huge{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Antilles-Guyane ~\decofourright\\[4pt]
19 juin 2012}}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties B et C sont indépendantes.}

\medskip
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation sur~$\R$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière}

\medskip
 
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. 
\item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité 

\[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\]
 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation 

\[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\]
 
\item Donner alors une équation de la tangente recherchée.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\medskip
 
Le graphique donné en \textbf{Annexe 1} représente la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur ce graphique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$. On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $\Delta$. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ la droite $\Delta$, la droite d'équation $(x = 1)$ et l'axe des ordonnées. 
\item On pose I $= \displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x$. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que 
I $  = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
\item En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.
 
On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2~cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives 

\[a = - 1 + 2\text{i} \quad ; \quad b = - 2 - \text{i}\quad ; \quad c = - 3 + \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C sur le graphique. 
\item Calculer $\dfrac{b}{a}$, en déduire la nature du triangle OAB. 
\item On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
 	 
\[z' = \dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}} \]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $c'$  du point C$'$, image de C par $f$ et placer le point C$'$ sur la figure. 
		\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, tels que $|z'| = 1$. 
		\item Justifier que $\mathcal{E}$ contient les points O et C. Tracer $\mathcal{E}$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On appelle J l'image du point A par la rotation $r$ de centre O et d'angle~$-\dfrac{\pi}{2}$.
 
On appelle K l'image du point C par la rotation $r'$ de centre O et d'angle~$\dfrac{\pi}{2}$. 

On note L le milieu de [JK].
 
Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\ 
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 

\[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\]
  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
		 
\[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\]

	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x - x \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un lycée donné, on sait que 55\,\% des élèves sont des filles. On sait également que 35\,\% des filles et 30\,\% des garçons déjeunent à la cantine.
 
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
 
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? 

\item Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.
 
Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair?  
\item Une variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres 20 et $\dfrac{1}{5}$.
 
Calculer la probabilité que $Y$ soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à $10 ^{- 3}$. 
\item Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
 
On appelle $A$ l'évènement \og l'appareil présente un défaut d'apparence \fg{} et $F$ l'évènement \og l'appareil présente un défaut de fonctionnement \fg.
 
On suppose que les évènements $A$ et $F$ sont indépendants.
 
On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à $0,02$ et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à $0,069$.
 
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut $F$ ? 
\item On considère l'algorithme :

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth}$A$ et $C$ sont des entiers naturels,\\ 
$C$ prend la valeur $0$ 

Répéter 9 fois\\ 
\phantom{aaaaa}$A$ prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.\\
\phantom{aaaaaaaaaaa}		Si $A  > 5$  alors $C$ prend la valeur de $C + 1$\\  
\phantom{aaaaaaaaaaa}		Fin Si\\ 
Fin répéter\\ 
Afficher $C$.
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip
 
Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur $C$ affichée. 

Quelle loi suit la variable $X$ ? Préciser ses paramètres. 
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip 

\textbf{Les quatre questions sont indépendantes.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple (4~;~6) est une solution de l'équation 
		
		\[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\]
		 
		\item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~y)$ vérifiant l'équation (E).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 

\[2^{3n} \equiv 1\quad  \pmod 7.\]
 
		\item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2012}}$ par 7.
	\end{enumerate}		 
\item On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.\]
  
\item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{A}{N}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{A}{N}$.

\medskip

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.5\textwidth} 
$A$ et $N$ sont des entiers naturels\\ 
Saisir $A$\\ 
$N$ prend la valeur 1\\ 
Tant que $N \leqslant  \sqrt{A}$\\ 
\phantom{aaaaaa} Si $\dfrac{A}{N} -  \text{Ent}\left (\dfrac{A}{N}\right) = 0$ alors Afficher $N$ et $\dfrac{A}{N}$\\
\phantom{aaaaaa}Fin si\\ 
$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
Fin Tant que.
\end{minipage}}
\end{center}

\medskip
 
Quels résultats affiche cet algorithme pour $A = 12$ ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\textbf{Exercice 1}
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip
 
Courbe {\blue $\mathcal{C}$} représentative de $f$ 

\vspace{1cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{1.6}{2.71828 x 1 sub exp x mul 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.35,3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}