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% Avec le concours de Christophe Scnheider et de Vincent Tolleron (merci à eux)
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles -- Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles -- Guyane juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$.

Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$.

Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de O associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z' = \dfrac{-1}{\overline{z}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Soit E le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ ; on appelle $E'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de $E'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
		\item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$.
	\end{enumerate}
\item
	  \begin{enumerate}
	  	\item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et $K'$ l'image de K par $F$.

Calculer l'affixe de $K'$.
		\item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$. $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$.

En déduire que : $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|$.
		\item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du \textbf{a.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul $n$ le reste dans la division euclidienne par $9$ de $7^n$.
		\item Démontrer alors que $(\np{2005})^{\np{2005}}\equiv 7\:\:(9)$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n~ :$~

$ (10)^n\equiv 1~(9)$.
		\item On désigne par $N$ un entier naturel écrit en base dix, on appelle $S$ la somme de ses chiffres.
		
Démontrer la relation suivante : $N \equiv S\:\:(9)$.
		\item En déduire que $N$ est divisible par $9$ si et seulement si $S$ est divisible par $9$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $A = (\np{2005})^{\np{2005}}$ ; on désigne par :

\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
		\item $B$ la somme des chiffres de $A$ ;
		\item $C$ la somme des chiffres de $B$ ;
		\item $D$ la somme des chiffres de $C$.
	\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer la relation suivante : $A\equiv D\:\:(9)$.
		\item Sachant que $2005 < \np{10000}$, démontrer que $A$ s'écrit en numération décimale avec au plus \np{8020}~chiffres. En déduire que $B\leqslant \np{72180}$.
		\item Démontrer que $C\leqslant 45$.
		\item En étudiant la liste des entiers inférieurs à $45$, déterminer un majorant de $D$ plus petit que $15$.
		\item Démontrer que $D = 7$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $x$ de [0~;~1] :

\[\dfrac{1}{n} - \dfrac{x}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{x + n} \leqslant \dfrac{1}{n}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{x + n}\,\text{d}x$.
		\item Déduire en utilisant \textbf{1.}, que :

\[\text{pour}~n \in \N^* \quad \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} \leqslant \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)\quad (1)\]

\[ \text{puis que}\quad \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right) \leqslant \dfrac{1}{n}.\]
	\end{enumerate}
\item On appelle $U$ la suite définie pour $n \in \N^*$ par :

\[U(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k} - \ln (n) = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln (n).\]

Démontrer que $U$ est décroissante (on pourra utiliser \textbf{2. b.})
\item On désigne par $V$ la suite de terme général :

\[V(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k} - \ln (n + 1)  = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln (n + 1).\]
Démontrer que $V$ est croissante.
\item  Démontrer que $U$ et $V$ convergent vers une limite commune notée $\gamma$.

Déterminer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-2}$ près par la méthode de votre choix.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement  la lettre correspondant à la réponse choisie.}

Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies.
Cette bibliothèque lui propose $150$~romans policiers et $50$~biographies.

40\,\% des écrivains de romans policiers sont français et 70\,\% des écrivains de biographies sont français.

Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200~ouvrages.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 0,4&	\textbf{b.}\quad 0,75 & \textbf{c.}\quad $\dfrac{1}{150}$\\
\end{tabularx}

\item Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 0,3 & \textbf{b.}\quad 0,8 & \textbf{c.}\quad  0,4\\
\end{tabularx}

\item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 1,15 &  \textbf{b.}\quad 0,4 & \textbf{c.}\quad  0,3\\
\end{tabularx}

\item La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 0,9 & \textbf{b.}\quad 0,7& \textbf{c.}\quad  0,475\\
\end{tabularx}

\item La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est  français est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $\dfrac{4}{150}$ &  \textbf{b.}\quad $\dfrac{12}{19}$& \textbf{c.}\quad  0,3\\
\end{tabularx}

\item Le lecteur est venu $20$~fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $1 - (0,25)^{20}$ & \textbf{b.}\quad  $20\times 0,75$  & \textbf{c.}\quad $0,75\times(0,25)^{20}$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A.}  Soit [KL]  un segment de l'espace ;  on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).

Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de K et L.

\vspace{0,5cm}

\textbf{B.} Ici l'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk~;	on considère les points

\[\text{A}(4~;~0~;~-3),~~  \text{B}(2~;~2~;~2),~~ \text{C}(3~;~-3~;~-1),~~ \text{D}(0~;~0~;~-3).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation 

$4x - 4y - 10z -13 = 0$.

On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC] et [CD] ont
respectivement pour équations $2x - 10y- 6z -7 = 0$ et $3x - 3y + 2z - 5 = 0$.
\item  Démontrer, en résolvant un système  d'équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun E dont on donnera les  coordonnées.
\item En utilisant la \textbf{partie A} montrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre E. Quel est le rayon de cette sphère ?
\end{enumerate}
\end{document} 