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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane juin 1997~\decofourright}}
\vspace{0,5cm}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 5 points}}

\medskip

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, l'unité graphique
est 1~cm.

On considère les points A, B , C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = (3\sqrt{3} - 2) + \text{i}(3 + 2\sqrt{3})
\quad z_{\text{B}} = (-\sqrt{3} - 1) + \text{i}(\sqrt{3} - 1)
\quad z_{\text{C}} = (1 - 4\sqrt{3}) + \text{i}(- 4 - \sqrt{3})\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose de placer les points A, B et C dans le repère \Ouv{} à l'aide du
compas. Pour cela on considère la rotation $R$ de centre O et d'angle de mesure $- \dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $R$.
		\item Vérifier que $R$ transforme le point A en le point A$_{0}$ d'affixe : $4 - 6\text{i}$.
		
On admettra que $R$ transforme les points B et C en les points B$_{0}$ et C$_{0}$ d'affixes
respectives $2 + 2\text{i}$ et $- 2 + 8\text{i}$.
		\item Placer les points A$_{0}$, B$_{0}$, C$_{0}$ puis, à l'aide du compas, les points A, B, C. (La construction de A sera justifiée).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{\text{A}}-  z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$.
		\item En déduire que le point O est le barycentre du système de points pondérés
$\{(\text{A},~1),~(\text{B},~- 1),~(\text{C},~1)\}$.
	\end{enumerate}
\item Soit l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que :
	
\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right\| = \left\|\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} \right\|\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que B appartient à $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer puis tracer l'ensemble $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer puis tracer l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan tels que :
	
\[2\left\|\vect{M\text{A}} -  \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{A}}- 3\vect{M\text{B}}\right\|\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\medskip

Voici le plan de la salle 308 du lycée Dupont.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6)
\multido{\n=1+1}{5}{\psline(\n,2)(\n,6)}
\multido{\n=6+1}{5}{\psline(\n,2)(\n,6)}
\multido{\n=2+1}{5}{\psline(1,\n)(5,\n)}
\multido{\n=2+1}{5}{\psline(6,\n)(10,\n)}
\rput{90}(5.5,4){all\'ee centrale}
\psframe(4,0)(7,1)\rput(5.5,0.5){Bureau}
\multido{\n=2+1}{4}{\uput[u](0.5,\n){R\n}}
\end{pspicture}
\end{center}


Le premier jour de l'année scolaire, les élèves de la classe de TS1 sont invités par leur professeur principal à s'installer au hasard des places disponibles dans cette salle. 

La classe de TS1 comporte 28 élèves.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de répartitions possibles des places inoccupées ? 
		\item Calculer à $10^{-1}$ près, les probabilités des évènements suivants :
		
$A$ : \og les huit places du rang R4 sont toutes occupées \fg{} ;
		
$B$ : \og il y a autant d'élèves à gauche qu'à droite de l'allée centrale \fg.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. Soit $X$ la variable aléatoire \og nombre de places inoccupées au rang R4 \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 5 points}}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 1}{x} \right) - \dfrac{1}{x + 1}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ et étudier le sens de variation de
$f$.
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ et lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ et en déduire le signe de $f(x)$
pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
\item Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct \Oij, l'unité graphique
est 5~cm. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[g(x) = x \ln \left(\dfrac{x + 1}{x} \right)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$. Déduire de la partie I le sens de
variation de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Vérifier que $g = h \circ k$ avec $h$ et $k$ les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[h(x) = \dfrac{\ln (1 + x)}{x} \quad \text{et}\quad k(x) = \dfrac{1}{x}.\]

En déduire la limite de $g$ en $+ \infty$ et en $0$.
\item Donner le tableau des variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à 1. On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire en cm$^2$ du domaine ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient :

\[1 \leqslant  x \leqslant  \lambda \quad \text{et} \quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]

En utilisant les résultats de la partie II,
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$.
		\item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
		\item Justifier l'affirmation :
\og L'équation $\mathcal{A}(\lambda) = 5$ admet une solution unique notée $\lambda_{0}$ \fg, 
puis donner un encadrement de $\lambda_{0}$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite numérique définie sur $\N$ par :
	
\[u_{n} = \left(\dfrac{n + 1}{n} \right)^n.\]

Montrer, en remarquant que $\ln \left(u_{n}\right) = g(n)$, que :
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite croissante.
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente, et préciser sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}