\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3d}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Antilles--Guyane juin 1998},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1998}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Antilles--Guyane juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : \emph{violet,
indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases
portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois
sur le même domino : c'est un double.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos,
indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
\item  On tire simultanément trois dominos du sac.

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?
\item  Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la
probabilité des évènements suivants :
\index{Probabilité}
\begin{enumerate}
\item  $J_{2}$ : \og Le jaune figure deux fois \fg
\item  $J_{1}$ : \og Le jaune figure une seule fois \fg
\item  $J$ : \og Le jaune figure au moins une fois \fg
\end{enumerate}
\item  On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant à chaque
tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le
domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont
indépendants.

Calculer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$, que $J$ soit réalisé au moins une fois. \newline Calculer la
plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle $p_{n}\geqslant
0,99.\medskip$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}
On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini
par :

\[
P\left(z\right)  = z^{4} + 2\sqrt{3}z^{3} + 8z^{2}+2\sqrt{3}z + 7
\]
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P\left(\text{i}\right)  $ et $P\left(-\text{i}\right).$
		\item  Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré, que l'on
déterminera, tel que :
\[
\text{pour tout }z\in\mathbb{C},\:P\left(  z\right)  =\left(z^{2} + 1\right) Q\left(z\right)
\]
	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
$P\left(z\right)  = 0.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item  Placer dans ce repère les points A, B, C et D d'affixes
respectives $z_{\text{A}}= \text{i},$

$z_{\text{B}}=- \text{i},~ 
z_{\text{C}}= -\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}}=-\sqrt{3}%
-2\text{i}$.

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de
diamètre $\left[\text{CD}\right].$
\item  Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme C en
D. Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de l'angle de cette rotation.
\item  Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :

\[
\frac{z_{\text{B}}-z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{C}}}
\]

Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe :

\[z' = \dfrac{1}{2}\text{i}z + \dfrac{1 - 3\text{i}}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une similitude directe dont on précisera le
centre $\Omega$,le rapport $k$ et l'angle $\theta$.
\item Soit M$_0$ le point d'affixe $1 + 4\sqrt{3} + 3\text{i}$. 

Pour tout entier naturel $n$,
le point $M_{n+ 1}$ est défini par $M_{n+ 1} = f\left(M_n\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la première question, calculer $\Omega M_n$ en fonction de $n$.
		
Placer le point M$_0$ et construire les points $M_1,  M_2, M_3, M_4$.
		\item À partir de quel rang $n_0$ a-t-on : \og Pour tout $n \geqslant n_0,\: M_n$ appartient
au disque de centre $\Omega$ et de rayon $r = 0,05$ \fg{} ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer M$_0M_1$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n = M_nM_{n + 1}$.
		
Montrer que $\left(d_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
		\item On note $l_n = d_0 + d_1 + d_2 + \ldots + d_n$. Calculer $l_n$ en fonction de $n$ et
en déduire la limite de $l_n$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'isobarycentre des
points M$_0$,\: $M_1$,\: $M_2$, \ldots , $M_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n > 0,\: \Omega G_n \leqslant \dfrac{16}{n + 1}$.
		\item En déduire la position limite du point $G_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.				\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : étude de fonctions}

\medskip

On considère les fonctions $f_{1},\:f_{2},\:f_{3}$ définies sur
$\mathbb{R}$ par :

\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left( x + 1\right)  \text{e}^{-x}\quad f_{2}\left( x\right)
=-x\text{e}^{-x}\quad f_{3}\left(x\right)  =\left(x - 1\right)  \text{e}^{-x}%
\]

On appelle $C_{1},\: C_{2},\: C_{3}$ leurs courbes représentatives
respectives dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. Les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont données sur le graphique  ci-dessous.%

\begin{enumerate}
\item  Étude de la fonction $f_{1}$
\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $f_{1}^{\prime}$ de $f_{1}$ et étudier
son signe. En déduire les variations de $f_{1}.$
\item  Déterminer les limites de $f_{1}$ en $+\infty,$ en $-\infty.$
\item  Dresser le tableau de variation de $f_{1}.$
\end{enumerate}
\item  Étude graphique.
\begin{enumerate}
\item  Identifier sur la figure donnée les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ et
placer sur le dessin le repère \Oij.
\item  Étudier la position relative des courbes $C_{1}$ et $C_{3}.$
\item  Tracer $C_{1}$ dans le même repère que $C_{2}$ et $C_{3}$ sur
la figure fournie.
\end{enumerate}
\item  Étude d'équations différentielles.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f_{1}$ est solution de l'équation différentielle :
\[
\left( E_{1}\right)  \quad y^{\prime}+ y = \text{e}^{-x}%
\]

		\item  Montrer que $f_{1}$ est aussi solution de l'équation différentielle :

\[
\left(  E_{2}\right)  \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0
\]
		\item  Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left( E_{2}\right).$ En déduire que $f_{2}$ et $f_{3}$ sont aussi des solutions de $\left(  E_{2}\right).$
		\item  Parmi les solutions de $\left(  E_{2}\right),$ quelles sont celles
qui sont aussi solutions de $\left( E_{1}\right)  $ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'aires liées à }\boldmath $C_{1}$\unboldmath \textbf{\ et }\boldmath $C_{2}$\unboldmath

\medskip
Pour $n$ entier strictement positif, on appelle $M_{n}$ le point de $C_{3}$
d'abscisse $n\ln 2.$ On pose :

\[
f\left( x\right)  =f_{1}\left(x\right)  - f_{3}\left(x\right)
\]

pour tout $x$ réel.
\begin{enumerate}
\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $U_{n}$ du domaine plan
limité par la courbe $C_{3},$ la courbe $C_{1}$ et les segments $\left[
M_{n}P_{n}\right]  $ et $\left[  M_{n+1}P_{n+1}\right]  $ pour $n > 0.$ $P_{n}$
et $P_{n+1}$ sont les projections orthogonales respectives de $M_{n}$ et
$M_{n+1}$ sur $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.
\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $V_{n}$ du trapèze
$P_{n}M_{n}M_{n+1}P_{n+1}$ pour $n > 0.$ Montrer que le rapport $\dfrac{V_{n}}{U_{n}}$ est constant.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-10)(3,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-10)(3,10)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.74}{3}{x 2.71828 x exp div neg}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-1.432}{3}{x 1 sub  2.71828 x exp div }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}