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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S Antilles-Guyane juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).  On considère les points A et B d'affixes respectives A($3 + 2$i) et B($-1 + 4$i). Extérieurement au triangle OAB, on construit les deux carrés OA$_1$A$_2$A et OBB$_1$B$_2$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que A$_2$ est l'image de O par une rotation de centre A, déterminer l'affixe de A$_2$. En déduire l'affixe du centre I du carré OA$_1$A$_2$A.
		\item En remarquant que B$_1$ est l'image de O par une rotation de centre B, déterminer l'affixe de B$_1$. En déduire l'affixe du centre J du carré OBB$_1$B$_2$.
	 \end{enumerate}
\item Calculer l'affixe du milieu K du segment [AB]. À l'aide des affixes des différents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu'une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{KI}},~\vect{\text{KJ}}\right)$. Que  peut-on en déduire ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d'un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l'entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à $0,03$ et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à $0,02$.

Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s'il  présente au moins l'un des deux défauts.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité qu'un article fabriqué par l'entreprise A soit défectueux est égale à \np{0,0494}.
\item Une grande surface reçoit $800$ articles de l'entreprise A. Soit $X$ la variable aléatoire qui à cet ensemble de $800$ articles associe le nombre d'articles défectueux.
	\begin{enumerate}
		\item Définir la loi de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Quel est le sens de ce nombre ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un petit commerçant passe une commande de 25 articles  à l'entreprise~A.

Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.
		\item Il veut que sur sa commande la probabilité d'avoir au moins un article 
défectueux reste inférieure à 50\,\%. Déterminer la valeur maximale du nombre $n$ d'articles qu'il peut commander.
	\end{enumerate}
\item La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l'entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre \np{0,0007}, c'est-à-dire de densité de probabilité la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \np{0,0007}\text{e}^{-\np{0,0007}x}.\]

Calculer la probabilité, à $10^{-3}$ près, qu'un tel article ait une durée de vie comprise entre $700$ et \np{1000} jours.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer : $\left(1 + \sqrt{6}\right)^2,~ \left(1 + \sqrt{6}\right)^4,~\left(1 + \sqrt{6}\right)^6$.
		\item Appliquer l'algorithme d'Euclide à  $847$ et $342$. Que peut-on en déduire  ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $a$ et 
$b$ les entiers naturels tels que :

\[\left(1 + \sqrt{6}\right)^n = a_n + b_n\sqrt{6}.\]

Que valent $a_1$ et $b_1$ ?

D'après les calculs de la question \textbf{1. a.}, donner d'autres 
valeurs de $a_n$ et $b_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
		\item Démontrer que, si 5 ne divise pas $a_n + b_n$, alors 5 ne divise pas non plus $a_{n+1} + b_{n+1}$.

En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, 5 ne divise pas 
 $a_n + b_n$.
		\item Démontrer que, si $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux, 
alors $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux.

En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A. On se propose de résoudre sur~\boldmath $\R$ 
\unboldmath l'équation différentielle (E) :}

\[\boldmath y' - 2y = 2\left(\textbf{e}^{2x} - 1\right). \unboldmath\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $h$ définie sur $\R$ par :

\[h(x) = 2x\text{e}^{2x} + 1\]

est solution de l'équation différentielle (E).
\item On pose : $y = z + h$. Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle : $z' - 2z = 0$. Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).
\item Démontrer qu'il existe une solution et une seule de (E) s'annulant en 0. Elle sera appelée $g$ et étudiée dans la \textbf{partie B}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. On considère la fonction \boldmath $g$ \unboldmath 
définie sur \boldmath $\R$ \unboldmath par :}

\medskip

\[g(x) = (2x - 1)\text{e}^{2x} + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $g$. Présenter son tableau de variations. En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 - g(x) 
\geqslant 0$.
		\item Calculer l'intégrale : I = $\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} [1 - g(x)]\:\text{d}x$.
		\item Interpréter graphiquement les résultats des questions \textbf{a.} et \textbf{b.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. On considère la fonction numérique \boldmath $f$ 
\unboldmath définie pour \boldmath $x$ \unboldmath réel non nul par :}

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}- 1}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $- \infty$, en $0$ et 
en $+ \infty$.
\item En déduire que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote que l'on précisera.
\item Déterminer le sens de variation de $f$ et donner son 
tableau de variations (on pourra utiliser la \textbf{partie B)}.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans 
le repère orthogonal \Oij, avec pour unités : 4~cm sur 
$\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et 2~cm sur 
$\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$. Après avoir recopié et complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à $10^{-2}$  près, construire la courbe  $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $-2$ et 1.

\begin{center}{\scriptsize\begin{tabularx}\linewidth{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2$	&$-1,5$	&$-1$	&$-0,5$	&$-0,2$	&$-0,1$	&$-0,05$&0,05	&0,1	&0,2	&0,5	&1\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		&		&		&		&	& \\ \hline
\end{tabularx}}\end{center}

\item Soit $f_{1}$ la fonction définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
f_1(x) &=&f(x),~x \neq 0\\
f_1(0) &=& 0\\
\end{array}\right.$

Cette fonction est définie et continue sur $\R$. En supposant que $f_1$ est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé $f'(0)$ ; faire cette lecture graphique.

Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. On se propose de trouver un encadrement de 
l'intégrale :}

\[ \text{J} = \displaystyle\int_{-2}^{-1} \dfrac{\text{e}^{2x}- 
1}{x}\:\text{d}x.\]
		
Montrer que pour tout $x$ de $[-2~;~-1]$ on a : $- \dfrac{0,86}{x} 
\leqslant \dfrac{\text{e}^{2x}- 1}{x} \leqslant - \dfrac{0,99}{x}$.

En déduire un encadrement de J d'amplitude $0,1$.
\end{document}