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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small juin 2004} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ par $a_0 =1,~b_0 =7$ et 
\renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}& =&\dfrac{1}{3}\left(2a_n +b_n\right)\\
b_{n+1}& =&\dfrac{1}{3}\left(a_n +2b_n\right)\\
\end{array}\right.$
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

Soit D une droite munie d'un repère 
$\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$. Pour tout $n \in \N$, on considère les points $A_n$ et $B_n$ d'abscisses respectives $a_n$ et $b_n$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Placez les points A$_0$, B$_0$, A$_1$, B$_1$, A$_2$ et B$_2$.
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n = b_n - a_n$ pour 
tout $n \in \N$. Démontrez que $\left(u_n\right)$ est une
suite géométrique  dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimez $u_n$ en fonction de $n$.
\item Comparez $a_n$ et $b_n$. étudiez le sens de variation des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$. Interprétez géométriquement ces résultats.
\item Démontrez que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont adjacentes.
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v = a_n + b_n$ pour tout $n \in \N$.  Démontrez que $\left(v_n\right)$ est une suite constante. En déduire que les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont tous le même milieu I.
\item Justifiez que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{But de l'exercice :} approcher $\ln(1 + a)$ par un polynôme de
 degré 5 lorsque $a$ appartient à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
\medskip

Soit $a \in [0~;~+ \infty[$.

On note $I_0(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{1 + t} \:\text{d}t$ et pour $k \in \N^*$, on pose $I_k(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{(t -a)^k}{(1 + t)^{k+1}} \:\text{d}t.$

\begin{enumerate} 
\item Calculez $I_0(a)$ en fonction de $a$.
\item À l'aide d'une intégration par parties, exprimez $I_1(a)$ en 
fonction de $a$.
\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrez que

\[I_{k+1}(a) = \dfrac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1}	+ I_k(a) \quad \text{pour tout}\quad k \in \N^*.\]

\item Soit $P$ le polynôme défini sur $\R$ par $P(x) = \dfrac{1}{5}x^5 
-\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 +x$.

Démontrez en calculant $I_2(a),~I_3(a)$ et $I_4(a)$, que $I_5(a)
 = \ln(1 +  a) - P(a)$.
\item Soit $J(a) = \displaystyle\int_0^a  (t - a)^5\: \text{d}t$. Calculez $J(a)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrez que pour tout $t \in [0~;~a],~\dfrac{(t-a)^5}{(1+t)^6} 
\geqslant 	(t - a)^5$.	
		\item Démontrez que pour tout $a \in [0~;~+ \infty[,~J(a) \leqslant I_5(a) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}	
\item En déduire que pour tout $a \in [0~;~+ \infty[,~\left|\ln (1 + a) - 
P(a)\right| \leqslant \dfrac{a^6}{6}$.
\item Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel
 $P(a)$ est une valeur approchée de $\ln (1 + a)$ à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte $1$ point. Une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Il sera retiré $0,5$ point par réponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l'exercice ne peut être inférieure à zéro.}

On pose $z = - \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \text{i}\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La forme algébrique de $z^2$ est :

\[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $2\sqrt{2}$ &\textbf{B} : $2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}$ &
\textbf{C}  : $2 + \sqrt{2} + \text{i}\left(2 - \sqrt{2}\right)$ & 
\textbf{D} : $2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2}$\\
\end{tabularx}}\]

\item $z^2$ s'écrit sous forme exponentielle :
\[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : \quad $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ &\textbf{B} : \quad 
$4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$ &\textbf{C} : \quad $4\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ &\textbf{D} : \quad $4\text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{4}}$
\end{tabularx}}\]
\item $z$ s'écrit sous forme exponentielle :
\[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : \quad $2\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{8}}$ &\textbf{B} : \quad
$2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{8}}$ &\textbf{C} : \quad
$2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{8}}$&\textbf{D} : \quad
$2\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{8}}$
\end{tabularx}}\]

\item $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$	et $\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$
sont les cosinus et sinus de :
\[{\small \begin{tabularx}{\textwidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : \quad	$\dfrac{7\pi}{8}$ 	&\textbf{B} :\quad $\dfrac{5\pi}{8}$ & 
\textbf{C} : \quad $\dfrac{3\pi}{8}$ 	&\textbf{D} : \quad $\dfrac{\pi}{8}$
\end{tabularx}}\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère le tétraèdre ABCD ; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD].

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés 

 $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~1)~;~(\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$.

Exprimez $\vect{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\vect{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille annexe).
		\item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés 
$\{(A,~1)~;~(B,~1)~;~(D,~2)\}$.

Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$.
		\item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J.
	\end{enumerate}
\item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés

$\{(A,~ 1)~;~(B,~ 1)~;~(C,~m-2)~;~(D,~m)\}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Précisez l'ensemble $\mathcal{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre $G_{m}$ existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$.
		\item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD).
		\item Démontrez que le vecteur $m\vect{\text{J}G_{m}}$ est constant.
		\item En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit l'ensemble $\mathcal{E}$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit
 $P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$) avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et  (CD) en $S$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Faire une figure.
\item Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.	
	\begin{enumerate} 
		\item Précisez, en justifiant votre réponse, l'image de la droite (BC) par la rotation $r$. 
		\item Déterminez les images de $R$ et de $P$ par $r$.
		\item Quelle est la nature de chacun des triangles A$RQ$ et A$PS$.
	\end{enumerate}
\item On note $N$ le milieu du segment [$PS$] et $M$ celui du segment [$QR$]. Soit $s$ la similitude de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de 
rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminez les images respectives de $R$ et de $P$ par $s$.
		\item Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit le segment [BC] privé de B ?
		\item Démontrez que les points $M$, B, $N$ et D sont alignés.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe : exercice 4}

\vspace{1,5cm}

\begin{pspicture}(10,7)
\pspolygon(0,0.9)(3.2,0)(9.5,0.9)(3.2,6.3)
\psline(3.2,0)(3.2,6.3) \psline[linestyle=dashed](0,0.9)(9.5,0.9)
\uput[u](3.2,6.3){A} \uput[l](0,0.9){B} \uput[d](3.2,0){C} \uput[r](9.5,0.9){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}