%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S },
pdftitle = {Antilles--Guyane  juin 2006},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small juin 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane  juin 2006~\decofourright}}
\end{center}
\parindent=0cm
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée des connaissances}

\textbf{Pré-requis :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sa fonction dérivée est la fonction inverse $\left(x\mapsto\dfrac{1}{x}\right)$.
\item $\ln(1)=0$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Démontrer que pour tous réels strictement positifs $a$ et  $x$, 

\[\ln (ax) = \ln (a) + \ln (x).\]

\item Utiliser le résultat précédent pour démontrer que

\[\ln\left(\dfrac1b\right)= -\ln (b) \textrm{ et que }\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln (a) - \ln (b)\]

pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$.
\item On donne $\np{0,69}\leqslant \ln 2\leqslant\np{0,70}$ et $\np{1,09}\leqslant\ln 3\leqslant\np{1,10}$.
 
En déduire des encadrements de $\ln 6$, $\ln\left(\dfrac16\right)$, et  $\ln\left(\dfrac38\right)$.

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte \np{0,75} point, chaque erreur enlève \np{0,25} point, l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $\text{e}^{2x}-3\text{e}^x-4=0$ admet dans $\R$:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}
\hline
\textbf{a.~~} 0 solution &\textbf{b.~~} 1 solution &\textbf{c.~~} 2 solutions & \textbf{d.~~} plus de 2 solutions\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item L'expression $-\text{e}^{-x}$

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{p{2.3cm}|}}
\hline
\textbf{a.~~} n'est jamais négative & 
\textbf{b.~~} est toujours négative & 
\textbf{c.~~} n'est négative que si $x$ est positif &
\textbf{d.~~} n'est négative que si $x$ est négatif\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\text{e}^x-1}{\text{e}^x+2}=$

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{p{2.3cm}|}}
\hline
\textbf{a.~~} $-\dfrac12$ & 
\textbf{b.~~} 1 & 
\textbf{c.~~} 2 &
\textbf{d.~~} $+\infty$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item L'équation différentielle $y=2y'-1$ a pour ensemble de solutions:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{p{2.3cm}|}}
\hline
\textbf{a.~~} $x\mapsto k\text{e}^{2x}-1$ avec $k\in \R$ & 
\textbf{b.~~} $x\mapsto k\text{e}^{\frac12x}+1$ avec $k\in \R$ & 
\textbf{c.~~} $x\mapsto k\text{e}^{\frac12x}-1$ avec $k\in \R$ & 
\textbf{d.~~} $x\mapsto k\text{e}^{2x}+\dfrac12$ avec $k\in \R$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
On rappelle que $P(X\leqslant a)=\displaystyle\int_{0}^{a}\lambda\text{e}^{-\lambda t}\text{d}t$.

La courbe donnée en \textsc{annexe 1} représente la fonction densité associée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Interpréter sur le graphique la probabilité $P(X\leqslant 1)$.
\item Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre $\lambda$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On pose $\lambda=\np{1,5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X\leqslant 1)$, en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près par excès.
\item Calculer $P(X\geqslant 2)$.
\item Déduire des calculs précédents l'égalité suivante: $P(1\leqslant X\leqslant 2)=\np{0,173}$ à $10^{-3}$ près.
\item Calculer l'intégrale $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\np{1,5}t\text{e}^{-\np{1,5}t}\text{d}t$.

Déterminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $F(x)$; on obtient ainsi l'espérance mathématique de la variable $X$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.

On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=\np{1,5}$.

\medskip

Si l'écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80\:\% des cas. Si l'écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un cylindre dans la production.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité qu'il soit accepté est égale à $\np{0,915}$ à $10^{-3}$ près.
		\item Sachant qu'il est accepté, quelle est la probabilité qu'il ait subi une rectification~?
	\end{enumerate}
 \item On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés~?
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins un cylindre soit refusé~?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on considère les points

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ d'affixe $a$, $a\in\R$
\item $B$ d'affixe $b+\text{i}$, $b\in\R$
\item $C$ image de $B$ dans la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une relation entre $a$ et $b$ pour que le point $C$ appartienne à l'axe $\left(O~;~\vect{v}\right)$.
		\item Exprimer alors l'affixe du point $C$ en fonction de $a$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on pose $a=\sqrt{3}$ et $b=0$. On considère les points $C$ d'affixe $c=-\text{i}$ et $D$ d'affixe $d=2+\sqrt{3}-2\text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle $ABC$~?
		\item Calculer le quotient $\dfrac{d-a}{c-a}$; que peut-on en déduire pour le triangle $ACD$~?
		\item Déterminer l'affixe du point $E$ image de $D$ dans la rotation de centre  $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
		\item Déterminer l'affixe du point $F$ image de $D$ dans la translation de vecteur $\vect{AC}$.
		\item Déterminer la nature du triangle $BEF$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Sur la figure donnée en \textsc{annexe 2}, on considère les carrés $OABC$ et $OCDE$ tels que :

\[\left(\vect{OA}~;~\vect{OC}\right)=\left(\vect{OC}~;~\vect{OE}\right)=\dfrac{\pi}{2}.\]

On désigne par $I$ le milieu du segment $[CD]$, par $J$ le milieu du segment $[OC]$ et par $H$ le point d'intersection des segments $[AD]$ et $[IE]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence d'une similitude directe $s$ transformant $A$ en $I$ et $D$ en $E$.
\item Déterminer le rapport de cette similitude $s$.

On admet que l'angle de la similitude $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Donner, sans justifier, l'image de $B$ par $s$.
\item Déterminer et placer l'image de $C$ par $s$.
\item Soit $\Omega$ le centre de la similitude $s$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $[AI]$ et à celui de diamètre $[DE]$.
		\item Montrer que $\Omega$ ne peut être le point $H$.
		\item Construire $\Omega$.
	\end{enumerate} 
\item On considère le repère orthonormal direct $\left(O~;~\vect{OA},~\vect{OC}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de la similitude $s$.
		\item En déduire l'affixe du centre $\Omega$ de $s$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les suites de points $A_{n}$ et $B_{n}$ définies pour tout entier naturel $n$ de la manière suivante: sur un axe orienté $\left(O~;~\vect{u}\right)$ donné en \textsc{annexe 3}, le point $A_{0}$ a pour abscisse $0$ et le point $B_{0}$ a pour abscisse 12.

Le point $A_{n+1}$ est le barycentre des points $(A_{n},~2)$ et $(B_{n},~1)$, le point $B_{n+1}$ est le barycentre des points pondérés $(A_{n},~1)$ et $(B_{n},~3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique placer les points $A_{2}, B_{2}.$
\item On définit les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ des abscisses respectives des points $A_{n}$ et $B_{n}$. Montrer que:
\[
a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}.
\]
On admet de même que $b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique. En préciser la raison.
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
		\item Déterminer la limite de $(u_{n})$. Interpréter géométriquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$).
		\item Étudier les variations de la suite $(b_{n})$.
	\end{enumerate}
\item Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$~?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$, par 

\[v_{n}=3a_{n}+4b_{n}.\]

Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est constante.
\item Déterminer la limite des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\textsc{Annexe 1}}

\psset{unit=2.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,2)
\psaxes(0,0)(0,0)(4,2)
\psaxes{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotstyle=curve,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{2.71828182846 x 1.5 mul neg exp 1.5 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\textsc{Annexe 2}}

\medskip

\psset{unit=0.45cm,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}(0,0)(22,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(22,12)
\psframe(1,1)(21,11)
\psline(11,1)(11,11)
\psline(21,1)(1,11)
\psline(1,1)(6,11)
\uput[u](1,11){D}  \uput[u](6,11){I}  \uput[u](11,11){C}  
\uput[u](21,11){B}  \uput[d](5.1,9){H}  \uput[ur](11,6){J}  
\uput[d](1,1){E}  \uput[d](11,1){O}  \uput[d](21,1){A}  
%\pstGeonode[PosAngle=-135](2,1){E}
%\pstGeonode[PosAngle=-90](10,1){O}
%\pstTranslation[PosAngle=-45]{E}{O}{O}{A}
%\pstRotation[RotAngle=90,PosAngle=135]{E}{O}{D}
%\pstTranslation[PosAngle=90]{E}{O}{D}{C}
%\pstTranslation[PosAngle=45]{E}{O}{C}{B}
%\pstMiddleAB[PosAngle=90]{D}{C}{I}
%\pstMiddleAB[PosAngle=0]{C}{O}{J}
%\pspolygon(E)(O)(A)(B)(D)
%\psline(C)(O)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\textsc{Annexe 3}}

\bigskip
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(13.5,0.5)
%\psline(-0.5,0)(13,0)
\psaxes[labels=none,ticksize=2pt](0,0)(-0.5,-0.5)(13.5,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\pstGeonode[PosAngle=135](0,0){A_0}
\pstGeonode[PosAngle=90](4,0){A_1}
\pstGeonode[PosAngle=90](12,0){B_0}
\pstGeonode[PosAngle=90](9,0){B_1}
\uput[90](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[-135](0,0){\small 0}
\uput[-90](2,0){\small 2}
\uput[-90](4,0){\small 4}
\uput[-90](6,0){\small 6}
\uput[-90](8,0){\small 8}
\uput[-90](10,0){\small 10}
\uput[-90](12,0){\small 12}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}