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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On appelle $J$ le point d'affixe $i$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a=-3-\text{i}$, $b=-2+4\text{i}$, $c=3-\text{i}$ et $h= - 2$.

Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
\item Montrer que $J$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $ABC$. Préciser le rayon du cercle $\mathcal{C}$.
\item Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $\dfrac{b-c}{h-a}$. En déduire que les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
Dans la suite de l'exercice, on admet que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$.
	\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
		\item On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l'affixe $g$ du point $G$. Placer $G$ sur la figure.
		\item Montrer que le centre de gravité $G$, le centre du cercle circonscrit $J$ et l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ sont alignés. Le vérifier sur la figure.
\item On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $K$ celui de $[AH]$. Le point $A'$ a pour affixe 

$a'=\dfrac12+\dfrac32\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $K$.
		\item Démontrer que le quadrilatère $KHA'J$ est un  parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^x - 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ et étudier le sens de variation de $f$.
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle et $\Gamma$ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij.

Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont donnée en \textbf{annexe 1}.

Soit $x$ un nombre réel strictement positif. On note $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$.

On rappelle que pour tout réel $x$ strictement positif, $\text{e}^x > \ln(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur $MN$ est minimale lorsque $x = \alpha$. Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à $10^{-2}$ près.
		\item En utilisant la question \textbf{1.}, montrer que $\text{e}^\alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. En déduire que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\alpha$ et la tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse $\alpha$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = x\ln(x) - x$. Montrer que la fonction $h$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur $]0~;~+\infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'aire (exprimée en unités d'aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en \textbf{annexe 1}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
\emph{Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des quatre propositions est exacte.\\
\textbf{Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d'atteindre la cible est de \np{0,3}. On effectue $n$ tirs supposés indépendants. On désigne par $p_n$ la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois sur ces $n$ tirs.

La valeur minimale de $n$ pour que $p_n$ soit supérieure ou égale à \np{0,9} est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
6 & 7 & 10 & 12
\end{tabular}
\end{center}

\item On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un moteur Diesel jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$ définie sur $[0~;~+\infty[$ et suivant la loi exponentielle de paramètre 

$\lambda = \np{0,0002}$. Ainsi, la probabilité que le moteur tombe en panne avant l'instant $t$ est

\[p(X\leqslant t) = \displaystyle\int_0^t \lambda\text{e}^{-\lambda x}\text{d}x.\]

La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de \np{10000} heures est, au millième près:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
\np{0,271} & \np{0,135} & \np{0,865} & \np{0,729}
\end{tabular}
\end{center}

\item Un joueur dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s'il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s'il obtient 1.

Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants.

La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d'une partie est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
$\dfrac{125}{\np{3888}}$ & $\dfrac{625}{648}$ & $\dfrac{25}{\np{7776}}$ & $\dfrac35$
\end{tabular}
\end{center} 
\item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'une même univers $\Omega$ tels que $p(A)=\np{0,3}$ et $p(A\cup B)=\np{0,65}$. La probabilité de l'évènement $B$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{a.}~~}p{2cm}@{\textbf{b.}~~}p{2cm}@{\textbf{c.}~~}p{2cm}@{\textbf{d.}~~}p{2cm}}
\np{0,5} & \np{0,35} & \np{0,46} & \np{0,7}
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (E) : $11x - 7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u - 7v = 1$. Trouver un tel couple.
\item En déduire une solution particulière de l'équation (E).
\item Résoudre l'équation (E).
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $D$ d'équation cartésienne $11x -7y - 5 = 0$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que $0\leqslant x\leqslant 50$ et $0\leqslant y\leqslant 50$.

Déterminer le nombre de points de la droite $D$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{C}$ et dont les coordonnées sont des nombres entiers.
\end{enumerate}
\item On considère l'équation (F) : $11x^2 - 7y^2 = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$~(mod~5).
\item Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Modulo 5, $x$ est congru à & 0&1&2&3&4\\
\hline
Modulo 5, \phantom{2}$x^2$ est congru à &&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Modulo 5, $y$ est congru à & 0&1&2&3&4\\
\hline
Modulo 5, $2y^2$ est congru à &&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par 5~?
\item En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de 5.
\end{enumerate}
\item Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F)~?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$.

On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&- 1 - t\\
y&=&\phantom{-} 2+t\quad(t\in\R)\\
z&=&\phantom{-} 1 - t
\end{array}
\right.
\]
On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.}

On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée en \textbf{annexe 2}.
\begin{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$.
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$.
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Calculer la longueur $HH'$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$.
		\item En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure.
	\end{enumerate}
\emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Annexe 1, exercice 2}

\medskip

\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7593838142764157cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6.16,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(6.16,8)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7593838142764157cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[linecolor=cyan,fillcolor=cyan,fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linewidth=1.25pt]{
\psplot{1}{2}{ln(x)}
\lineto(2,7.389)
\psplot{2}{1}{EXP(x)}
\lineto(1,0)
\closepath
}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=magenta]{-1.0}{6.160000000000001}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=magenta]{1.4000000000060226E-6}{6.160000000000001}{ln(x)}
\psline[linecolor=blue](0.57,-0.56)(0.57,1.77)
\uput[-45](2,7.38){\color{magenta}$\mathcal{C}$}
\uput[90](5,1.61){\color{magenta}$\Gamma$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0.57,1.77)
\uput[135](0.57,1.77){\blue{$M$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0.57,-0.56)
\uput[-170](0.57,-0.56){\blue{$N$}}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\newpage

\textbf{Annexe 2, exercice 4 (non spé)}

\medskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
\psline(0,5)(4,6)
\psline(4,6)(4,0)
\psline(4,0)(0,-1)
\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
\psline(0,-0.25)(0.25,-0.19)
\psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19)
\psline(-0.25,2.81)(0,2.75)
\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}