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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
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\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998~\decofourright}}\normalsize{} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}
 
\textbf{Comun à tous les candidats}

\medskip
 
Un meuble est composé de 10 tiroirs T$_{1}$,~ T$_{2}$,~\ldots,~ 
T$_{10}$.

Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée de \emph{trouver le tiroir contenant la boule} à l'aide de la stratégie suivante :

la personne ouvre le tiroir T$_{1}$. 

Si la boule est dans le tiroir T$_{1}$, la recherche est achevée, sinon la  personne ouvre le tiroir T$_{2}$, et ainsi de suite \ldots en respectant l'ordre des numéros de tiroirs.
 
On remarquera qu'avec cette stratégie, le tiroir T$_{10}$ n'est 
jamais ouvert.

Pour $i$ entier compris entre 1 et 10 ($1 \leqslant i \leqslant 10$), on 
appelle B$_{i}$ l'évènement \og La boule se trouve dans le tiroir 
T$_{i}$ \fg{}.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont 
été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner l'ensemble des valeurs possibles de 
$X$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour $i$ entier 
compris entre 1 et 8 ($1 \leqslant i \leqslant 8$), 
l'évènement ($X = i$) est l'évènement B$_{i}$. 
		\item Justifier que l'évènement ($X = 9$) est la réunion des évènements B$_{9}$ 
et B$_{10}$. 
	 	\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
	 	\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace*{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
  
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv. 

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à 
mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : $2$~cm.) 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation 

\[(\text{E})\quad : \quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] 

		\item On considère les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ 
et $z_{2} = \sqrt{3} - \text{i}$ et on désigne par M et N les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$. Déterminer le module et l'argument de $z_{1}$ et $z_{2}$ ; placer M et N sur la figure. 
		\item Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par la translation de vecteur $\vect{w} = - 2\vect{u}$. Placer P et Q sur la figure. 

Montrer que MNPQ est un carré.
	\end{enumerate} 
\item Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l'image de P 
par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, S l'image de E par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3}$. 

Placer ces points sur la figure. 

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au 
segment [MN]. 

\item On pose $\alpha = 2 - \sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $1 + \alpha^2 = 4\alpha$ et $1 - \alpha^2 = 2\alpha\sqrt{3}$. 
		\item Exprimer les affixes $Z$ de $\vect{\text{PR}}$ et $Z'$ 
de $\vect{\text{PS}}$ en fonction de $\alpha$. 
		\item Montrer que $|Z| = |Z'|$ et que $\dfrac{Z}{Z'} = 
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
\item Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 11 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A}
  
$\star~$ \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

La fonction $d$ est définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par : 

\[d(x) = \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer la fonction dérivée $d'$. En déduire les variations de $d$. 
\item Déterminer les limites de $d$ en $- 1$ et en $+ \infty$. 
\item Montrer que, pour tout $x > - 1$, on a : $0 < d(x) <$ e. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B}
 
$\star~$ \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
Dans cette partie on s'intéresse à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~+~\infty[$ par : 

\[f(x) = x + 1 - \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}.\] 

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal, l'unité graphique étant $5$~cm. On désigne par $f'$ et $f''$ les dérivées première et seconde de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x - \text{e} + 1$ est asymptote  à la courbe $(\mathcal{C})$.

Préciser la position relative de (D) et $(\mathcal{C})$. 

\item 
 	\begin{enumerate}
		\item Pour $x \in ] - 1 ~;~ +~\infty$[, calculer $f'(x)$ et $f''(x)$. 

Vérifier que $f''(x) = \dfrac{2x+ 1}{(x + 1)^4} \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}$. 

En déduire le sens de variations de $f'$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f'$. 

 (On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f' = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f' = 1$.) 
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet sur $]- 1~;~+ \infty[$ deux solutions dont l'une est $0$. 

Dans la suite du problème, on notera $\alpha$ la solution non nulle. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$. 
		\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ 
	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie C}
 
$\star~$ \textbf{Prolongement de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 
en $- 1$

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par :
 
\[ \left\{ \begin{array}{l c l} 
g(- 1)		& =	& 0\\ 
g(x)		& =	& f(x) ~\text{pour tout}\: x > -1.\\ 
\end{array}\right.\] 

On appelle ($\mathcal{C'}$) la courbe représentative de la fonction $g$ dans  le repère de la \textbf{partie B}. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on peut écrire 
\[\dfrac{g(x) - g( - 1)}{x - (- 1)} = 1 - 
\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{x}{x + 1}\text{e}^{\frac{x}{x + 1}}\right).\] 

		\item Pour $x \in ]- 1~;~+ \infty[$, déterminer la limite lorsque $x$ tend vers $- 1$ de $\dfrac{x}{x + 1}$ puis de $\dfrac{x}{x + 1}\text{e}^ {\frac{x}{x + 1}}$. 
		\item En déduire que $g$ est dérivable en - 1 et préciser son nombre dérivé $g'(-~1).$ 
	\end{enumerate} 
 \item Construire (D) et ($\mathcal{C'}$). Préciser 
les tangentes à ($\mathcal{C'}$) aux points d'abscisses $-~1,~\alpha,~ 0$. 
\end{enumerate}
\end{document} 