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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[7pt]septembre 2002}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_1=\frac12$ et par la
relation de récurrence :
\begin{equation*}u_{n+1} = \frac16u_n+\frac13.
\end{equation*}

	\begin{enumerate}
		\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour $n \geqslant 1$ par
$v_n = u_n - \frac25$ ; montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique
dont on précisera la raison.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction  de $n$ puis celle de $u_n$.
	\end{enumerate}
\item On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois 
faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches.

On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde
le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le
dé et ainsi de suite.

On désigne par $A_n$ l'évènement
\og on utilise le dé A au $n$-ième lancer \fg,

par $\overline{A_n}$ l'évènement contraire de $A_n$,

par $R_n$ l'évènement \og on obtient rouge au $n$-ième lancer
\fg,

par $\overline{R_n}$ l'évènement contraire de $R_n$,

par $a_n$ et $r_n$ les probabilités respectives de $A_n$ et $R_n$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a_1$.
		\item Déterminer $r_1$. Pour cela, on pourra s'aider d'un arbre.
		\item En remarquant que, pour tout $n\geqslant 1$, $R_n=\left(R_n\cap A_n\right)\cup\left(R_n\cap \overline{A_n}\right)$, montrer que

$r_n = -\frac16a_n + \frac23$.
		\item Montrer que, pour tout $n\geqslant 1$,
 $A_{n+1}=\left(A_n\cap R_n\right)\cup\left(\overline{A_n}\cap \overline{R_n}\right)$.
		\item En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$,

		 $a_{n+1} = \dfrac16a_n + \frac13$,
puis déterminer l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire l'expression de $r_n$ en fonction de $n$ puis la limite
de $r_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan complexe rapportéŽ au repère orthonormal direct \Ouv{}
(unité graphique : 5~cm), on considère les points A et B d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{B}}= - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O et de rayon 1.

\begin{enumerate}
\item Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{A}}$ et celle de $z_{\text{B}}$.
\item Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point de $(\mathcal{C})$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\alpha},~\alpha \in [0~ ;~ 2\pi]$.

On considère l'application $f$ qui ˆà tout point $M$ de $(\mathcal{C})$, associe

$f(M) = M\text{A} \times  M\text{B}$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer, pour tout $\alpha \in \R$, l'égalité suivante :

\[\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 = 2\text{i}\text{e}^{\text{i}\alpha}\sin \alpha.\]

		\item Montrer l'égalité suivante : $f(M) = 
\left|\text{e}^{\text{i}2\alpha} - 1 - \left(\dfrac{1}{2} + 
\dfrac{3}{2}\text{i}\right)\text{e}^{\text{i}\alpha}\right|$.
		\item En déduire l'égalité suivante : $f(M) = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 
\left(- \dfrac{3}{2} + 2\sin \alpha\right) ^2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant \textbf{2 c}, montrer qu'il existe deux points $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnées, pour  lesquels $f(M)$ est minimal. Donner cette valeur minimale.
		\item En utilisant \textbf{2 c}, montrer qu'il existe un seul point $M$ de $(\mathcal{C})$, dont on donnera les coordonnéŽes, pour lequel $f(M)$ est
maximal. Donner cette valeur maximale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que

\[\text{AC = BD}\qquad \text{et}\qquad 
\widehat{\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right)} = - 
\dfrac{\pi}{2}.\]

On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle 
($\mathcal{C}_{1}$), ($\mathcal{C}_{2}$), ($\mathcal{C}_{3}$) et 
($\mathcal{C}_{4}$) les cercles de diamètres respectifs
[AB], [BC], [CD] et [DA].

On pourra s'aider de la figure ci-jointe.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $r$ la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l'angle de $r$ ? Montrer que le centre I de $r$ appartient aux cercles
($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$).
		\item Soit $r'$ la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est 
l'angle de $r'$ ? Montrer que le centre J de $r'$ appartient aux cercles
($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$).
		\item Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? 
	\end{enumerate}
\item On désigne par P et R les points diamèŽtralement opposés ˆà I sur, respectivement ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$) et par Q et S les points diamètralement opposéŽs ˆà J sur, respectivement ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$).

Soit $s$ la similitude directe de centre I, de rapport $\sqrt{2}$  et d'angle	$\dfrac{\pi}{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images par $s$ des points D, N, B ?
		\item En déduire que J est le milieu de [PR].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(8,8)
\pspolygon[linestyle=dotted](2.6,6.3)(6.3,5.8)(4.2,0.7)(0.7,4.2)
\psline(2.6,6.3)(4.2,0.7)
\psline(6.3,5.8)(0.7,4.2)
\pscircle(4.45,6.05){1.9}
\pscircle(5.25,3.25){2.75}
\pscircle(2.45,2.45){2.45}
\pscircle(1.65,5.25){1.4}
\uput[ur](2.6,6.3){A} \uput[r](6.3,5.8){B}
\uput[d](4.2,0.7){C} \uput[l](0.7,4.2){D}
\uput[r](3.4,3.5){M} \qdisk(3.4,3.5){1pt}
\uput[u](3.5,5){N} \qdisk(3.5,5){1pt}
\uput[u](4.18,4.18){I} \qdisk(4.18,4.18){1pt}
\uput[l](2.82,4.5){J} \qdisk(2.82,4.5){1pt}
\uput[u](4.7,7.92){P}  \qdisk(4.7,7.92){1pt}
\uput[r](7.8,2.2){Q} \qdisk(7.8,2.2){1pt}
\uput[dl](0.72,0.72){R} \qdisk(0.72,0.72){1pt} 
\uput[ul](0.57,6.1){S} \qdisk(0.57,6.1){1pt}
\uput[l](0,2.3){($\mathcal{C}_{3}$)}
\uput[u](1.2,6.5){($\mathcal{C}_{4}$)}
\uput[u](6,7.5){($\mathcal{C}_{1}$)}
\uput[r](8,4.3){($\mathcal{C}_{2}$)}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&0\\
f(1)&=&0\\
f(x)&=& (\ln x) \times \ln (1 - x), \quad \text{pour} \quad x \in \:
]0~;~1[\\
\end{array}\right.\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme néŽpérien. On note  $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unitéŽ graphique : 10~cm).

On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 0$,
ainsi que le résultat suivant :

\[\text{pour}\quad  \alpha > 0,\quad \displaystyle\lim_{x \to 0} x^{\alpha} \ln x = 0.\]

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A - ătude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite quand $x$ tend vers $0$ de l'expression $\dfrac{\ln(1 - x)}{x}$.
%$\dfrac{\ln(1 - x)}{x} = $\dfrac{\ln(1 - x) - \ln (1)}{x - 0}$. Par définition cette limite est égale au nombre dérivé de la fonction $x\longmapsto \ln (1 - x)$ en $x = 0$.
%
%Or $\left(\ln (1 - x) \right)'(x) = \dfrac{- 1 }{1 - x}$. On a donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 - x)}{x} = - 1$.
		\item En déduire la limite quand $x$ tend vers $0$ de l'expression  $\dfrac{f(x)}{x}$ ; que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
%On a $\dfrac{f(x)}{x} = \ln x \times \dfrac{{\ln(1 - x)}{x}$.
%
%Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 - x)}{x} = - 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x = - \infty$, on en déduit par produit des limites que $\dfrac{f(x)}{x} = + \infty$.
%
%On en déduit que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$ et que la courbe $\mathcal{C}$ admet en $0$ une tangente verticale.
	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right[, \quad  f\left(\dfrac{1}{2} - x\right) = f\left(\dfrac{1}{2} + x\right)$.

Que peut-on en conclure pour $\mathcal{C}$ ?
%On a $- \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow - \dfrac{1}{2} < - x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} < - x + \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ soit finalement :
%
%$0 < - x + \dfrac{1}{2} < 1$.
%
%De même $- \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} +  x < \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \iff  0 <  x + \dfrac{1}{2} < 1$.
%
%D'autre part $f\left(\dfrac{1}{2} - x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} - x \right) \times \ln \left(1 - \dfrac{1}{2} + x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} - x \right) \times \ln \left(\dfrac{1}{2} + x \right)$.
%
%$f\left(\dfrac{1}{2} + x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} + x \right) \times \ln \left(1 - \dfrac{1}{2} - x \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} + x \right) \times \ln \left(\dfrac{1}{2} - x \right)$.
%
%On a donc pour tout $x \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right[, \quad  f\left(\dfrac{1}{2} - x\right) = f\left(\dfrac{1}{2} + x\right)$.
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur ]0~;~1[ par :

\[\varphi(x) = (1 - x)\ln(1 - x) - x\ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item DéŽterminer $\varphi'(x)$, puis montrer l'égalité $\varphi''(x) = \dfrac{ 2x- 1}{x(1 - x)}$~; en déduire les variations de $\varphi'$ sur ]0~;~1[.
		\item Montrer que $\varphi'$ s'annule en deux valeurs $\alpha_{1}$ et 
$\alpha_{2}$ sur ]0~;~1[ (on ne cherchera pas àˆ calculer ces valeurs).
Donner le signe de $\varphi'$ sur ]0~;~1[.
		\item Déterminer la limite quand $x$ tend vers $0$ de l'expression
$\varphi(x)$ et la limite quand $x$ tend vers 1 de $\varphi(x)$.
Calculer $\varphi \left(\dfrac{1}{2}\right)$. En déduire le signe
de $\varphi(x)$ sur ]0~;~1[.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x)$ a même signe que $\varphi(x)$
sur ]0~;~1[.
		\item Donner le tableau de variations de $f$.
		\item Montrer que, pour tout $x \in ]0~;~1[$, les inégalités suivantes sont vraies :

\[0 < (\ln x) \times \ln (1 - x) \leqslant  (\ln 2)^2.\]

		\item Tracer $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale}

\medskip

Pour $t \in \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$, on pose :

\[I_{1}(t) = \displaystyle\int_{t}^{\frac{1}{2}} x \ln x\: 
\text{d}x,\quad I_{2}(t) = \displaystyle\int_{t}^{\frac{1}{2}} x^2 \ln 
x\: \text{d}x,\quad I(t) = \displaystyle\int_{t}^{\frac{1}{2}} 
f(x)\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'intégrations par parties, montrer que :

\[I_{1}(t) = - \dfrac{\ln 2}{8} - \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{2} t^2 \ln t + \dfrac{t^2}{4} ;\]

\[I_{2}(t) = - \dfrac{\ln 2}{24} - \dfrac{1}{72} - \dfrac{t^3 \ln 
t}{3} + \dfrac{t^3}{9}.\]

		\item DéŽterminer les limites de $I_{1}(t)$ et de $I_2(t)$ quand $t$ tend 
vers $0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\left]0 ~;~\dfrac{1}{2}\right[$
par :

\[g(x) = - \left[x + \dfrac{x^2}{2}\right]\qquad \text{et} \qquad 
 h(x) = g(x) - \dfrac{x^2}{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item ătudier sur $\left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$ les variations de la fonction

\[x  \mapsto \ln (1 - x) - g(x).\]

		\item En déduire que, pour tout $x \in \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$ :

\[\ln (1 - x) \leqslant g(x).\]

		\item Par un procédé analogue, montrer que pour tout $x \in \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$ :

\[\ln (1 - x) \geqslant h(x).\]

		\item En déduire un encadrement de $f(x)$ sur $\left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $-I_{1}(t) - \dfrac{1}{2}I_{2}(t) \leqslant  I(t) \leqslant - I_{1}(t) - I_{2}(t)$.
	\item En supposant que $I(t)$ admet une limite notée $\ell$ quand $t$ tend vers $0$, donner un encadrement de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}