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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 
Antilles--Guyane  septembre 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

Une association organise des promenades en montagne. Douze guides
emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du
Soleil. L'été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit
s'inscrire la veille de la promenade.

Mais l'expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun 
des groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est
égale à  $\dfrac{1}{8}$. On admettra que les groupes inscrits se présentent
indépendamment les uns des autres.

\textsl{Les probabilités demandées seront arrondies au} 
$100\up{e}$ \textsl{le plus proche}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité
qu'un jour donné les $12$ groupes inscrits soient tous présents est comprise 
entre $0,20$ et $0,21$.
		\item On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d'un mois de $30$ jours. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Donner la signification des évènements $X = 30$ puis $X = 0$ et calculer la
probabilité de ces évènements.

Préciser l'espérance mathématique E($X$)

Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?
		\item Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque
groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.

Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l'association ne
gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la journée.

On nomme $S$ la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par
l'association un jour donné.

Calculer la probabilité de l'évènement $[S = 11]$.

Préciser l'espérance mathématique de $S$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l'association
décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. évidemment si 
les 13 groupes inscrits se présentent, le $13\up{e}$ groupe sera
dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de 
remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits à l'association.

Quelle est la probabilité P$_{13}$ qu'un jour donné il n'y ait pas de 
désistement, c'est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ?
		\item Soit $R$ la variable aléatoire égale au coût de l'activité de substitution.

Préciser la loi de la variable aléatoire $R$ et calculer son espérance 
mathématique.
		\item Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :

\[ \left(\displaystyle\sum_{k=0}^{13} k \cdot \dbinom{k}{13} 
\left(\dfrac{7}{8}\right)^k \left(\dfrac{1}{8}\right)^{13-k}\right) - 
2 \text{P}_{13}.\]

Calculer ce gain.
		\item La décision du dirigeant est-elle rentable pour l'association ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit l'équation (1) d'inconnue rationnelle $x$ :

\[ 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0.\]

où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On suppose dans cette question que $\dfrac{14}{39}$ est solution de 
l'équation (1)
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que les entiers relatifs $u$ et $v$ sont liés par la relation 
		
$14u + 39v = \np{1129}.$
		\item Utiliser l'algorithme d'Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul, pour trouver un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation $14x + 39y = 1$.

Vérifier que le couple $(- 25~;~9)$ est solution de cette équation.
	\item En déduire un couple $\left(u_{0}~;~v_{0}\right)$ solution particulière de l'équation 
	
$14u + 39v = \np{1129}$.

Donner la solution générale de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des
couples $(u~;~ v)$ d'entiers relatifs qui la vérifient.
		\item Déterminer, parmi les couples $(u~;~ v)$ précédents, celui pour lequel le
nombre $u$ est l'entier naturel le plus petit possible.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.

En déduire, dans $\N$, l'ensemble des diviseurs de 78 et l'ensemble des diviseurs de 14.
		\item Soit $\dfrac{P}{Q}$ une solution rationnelle de l'équation (1) d'inconnue 
$x$ :

\[78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0 \quad \text{où } \:  u \:\text{ et }\:v\:\text{ sont des entiers relatifs.}\]

Montrer que si $P$ et $Q$ sont des entiers relatifs premiers entre 
eux, alors $P$ divise $14$ et $Q$ divise $78$.
		\item En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant 
être solutions de l'équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble 
de ceux qui sont positifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - étude préliminaire d'une fonction \boldmath 
$f$ \unboldmath  définie sur $\R$ par \boldmath $\varphi(x) = (2 - 
x)\text{e}^x - 1$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
\item Montrer que la fonction $\varphi$ est continue et dérivable sur $\R$ et étudier le signe de sa dérivée.

En déduire les variations de la fonction $\varphi$ et préciser les valeurs 
de $\varphi(-2),\:\varphi(0),$

$\varphi(1)$ et $\varphi(2)$.
\item Prouver que la fonction $\varphi$ s'annule uniquement en deux valeurs que
l'on nommera $\alpha$ et $\beta$. On prendra $\alpha < \beta$. étudier alors le signe de la fonction $\varphi$ sur l'ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.
\item À l'aide de la calculatrice, fournir un encadrement d'amplitude 
$10^{-2}$ des valeurs $\alpha$ et $\beta$.
\item Montrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{2 - \alpha}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath
définie par  \boldmath $f(x) = \dfrac{\text{e}^x- 1}{\text{e}^x - x}$ \unboldmath et calcul intégral}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\text{e}^x - x$ ne s'annule pas sur $\R$. En déduire que $f$ est définie sur $\R$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ puis, à l'aide des résultats de la \textbf{partie A}, construire le tableau des variations de $f$.
		\item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha - 1}$, le nombre $\alpha$ étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction $\varphi$ de la partie A s'annule.
		\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l'intégrale :

\[\displaystyle\int_0^1  \dfrac{\text{e}^x- 1}{\text{e}^x - x}\:\text{d}x.\]

	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - étude de deux suites}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Préciser l'ensemble de définition D$_g$ de la fonction $g$ définie sur cet ensemble par $g(x) = \ln \left(\dfrac{1}{2 - x}\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Prouver que la fonction $g$ est croissante sur son ensemble de définition et
que l'image par $g$ de l'intervalle I = $[-2~;~0]$ est incluse dans cet intervalle.

\medskip

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour
tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 & = & -2\\
u_{n+1}&  =& g\left(u_n\right)\\
\end{array}\right.\]

Montrer que $u_1$ appartient à l'intervalle I = $[-2 ~;~ 0]$. Prouver par
récurrence, à l'aide des variations de la fonction $g$, que la suite $\left(u_n\right)$ a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
v_0 & = & 0\\
v_{n+1}&  =& g\left(v_n\right)\\
\end{array}\right.\]

Calculer le terme $v_1$ et montrer que $-2 \leqslant  u_1 \leqslant	v_1 
\leqslant v_0 \leqslant 0$.

Établir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction $g$ sur 
l'intervalle $[-2~;~0]$, que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a :

\[- 2 \leqslant u_n \leqslant v_n \leqslant v_{n - 1} \leqslant 0.\]

Préciser le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $m$ la fonction définie sur $[0~;  + \infty[$
par : 

\[m(x) = x - \ln (1 + x).\]

Montrer que $m$ est croissante et calculer $m(0)$ . En déduire que, pour tout $x$ positif, on a $\ln (1 + x) \leqslant x$.
		\item Vérifier que, pour tout entier $n,~v_{n+1} - u_{n+1} = \ln \left(1 + \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}\right)$.

En déduire que $v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant  \dfrac{v_n - u_n}{2 - v_n}$.

Sachant que, pour tout entier $n$, les termes de la suite $\left(v_n\right)$
 appartiennent à l'intervalle $[-2~;~0]$, donner un encadrement de 
$\dfrac{1}{2 - v_n}$ et établir que :

\[v_{n+1} - u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(v_n - u_n\right).\]

Prouver alors que, pour tout entier naturel $n$,

\[ v_n -  u_n \leqslant \dfrac{1}{2^n} \left(v_0 - u_0\right).\]

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général $v_n - u_n$ et pour les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 
$10^{-4}$ de $u_{10}$ et $v_{10}$.
\end{enumerate}
\end{document}