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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

On se propose de déterminer des valeurs approchées de l'intégrale

\[\text{I}  = \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t\]

en utilisant deux méthodes distinctes.

\smallskip

Les parties A et B sont largement indépendantes l'une de l'autre.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\textbf{Utilisation d'une intégration par parties}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En remarquant que $\dfrac{10t^2}{1 + t^2}= 5t \times \dfrac{2t}{1 + t^2}$, établir l'égalité

\[\text{I} = \dfrac{5}{2}\times \ln \left(\dfrac{5}{4}\right) - 5 \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t.\] 

\item  On pose, pour $x$ positif ou nul, $f(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2}$	et
$g(x) = \ln (1 + x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les variations de $f$, démontrer que $f (x) \geqslant 0$. En procédant de la même façon, on pourrait établir que $g(x) \leqslant 0$, inégalité que l'on admettra ici.
		\item  À l'aide de ce qui précède, montrer que l'encadrement :

\[t^2 -	\dfrac{t^4}{2} \leqslant \ln \left(1 + t^2\right) \leqslant  t^2.\]
est vrai pour tout réel $t$. 
		\item  Déduire de la question précédente que

\[\dfrac{5}{24} \leqslant -5\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t \leqslant - \dfrac{37}{192}.\]
	\end{enumerate}
\item  En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\textbf{Utilisation de la méthode  d'Euler}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose $\Phi(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} 	\dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t$ pour $x \in \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$.

Préciser $\Phi(0)$ ainsi que la fonction dérivée de $\varphi$.
\item  On rappelle que la méthode d'Euler permet de construire une suite de points $M_{n}\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ proches de la courbe représentative de $\varphi$. En choisissant comme pas $h = 0,1$, on obtient la suite de points $M_{n}$ définie pour $n$ entier naturel par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_{0}& =& 0\\
y_{0}& =&0\\
\end{array}\right.~
	\text{et}~\left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}&=& x_{n} + 0,1\\
y_{n+1}&=&y_n + \Phi'\left(x_{n}\right) \times 0,1\\
\end{array}\right.\]
En utilisant, sans la justifier, l'égalité $x_{n}  = \dfrac{n}{10}$, vérifier que $y_{n+1} = y_{n} + \dfrac{n^2}{100 + n^2}$. 
\item  Calculer $y_{1}$, et $y_{2}$, puis exprimer $y_{3},{}y_{4}$ et $y_{5}$ sous la forme d'une somme de fractions que l'on ne cherchera pas à simplifier.

Donner maintenant une valeur approchée à $0,001$ près de $y_{5}$.

Le réel $x_{5}$ étant égal à $\dfrac{1}{2},{}y_{5}$ est donc une valeur approchée de	$\Phi\left(\dfrac{1}{2}\right)$ c'est-à-dire de I.
\item  Avec la méthode d'Euler au pas $h = 0,01$, on obtient, pour I, la valeur approchée $0,354$.

Les valeurs de I obtenues avec la méthode d'Euler sont-elles compatibles avec l'encadrement de la question 3. de la partie A ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A et B les point, d'affixes respectives 2 et 3. 

On fera un dessin (unité graphique 2~cm) qui sera complété selon indications de l'énoncé.

\emph{La question $1$ est indépendante des questions $2$ et $3$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

\[z^2 - 4z + 6 = 0.\]

		\item  On désigne par M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives

\[z_{1} = 2 + \text{i}\sqrt{2}~    \text{et}~ z_{2} =  2 - \text{i}\sqrt{2}.\]

Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{z_{1} - 3}{z_{1}}$.

En déduire que le triangle OBM$_{1}$ est un triangle rectangle. 
		\item Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M$_{1}$ et M$_{2}$, appartiennent à un m\^eme cercle $\mathcal{C}$ que l'on précisera.

Tracer le cercle $\mathcal{C}$ et placer les points M$_{1}$ et M$_{2}$ sur le dessin.
	\end{enumerate}
\item  On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par l'égalité $z'=  z^2 - 4z + 6$.

On désigne par $\Gamma$ le cercle de centre A et de rayon $\sqrt{2}$.

Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin,
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier l'égalité suivante $z'- 2  =  (z - 2)^2$. 
		\item Soit $M$ le point de $\Gamma$ d'affixe $z = 2  + \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ désigne un réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
		
Vérifier l'égalité suivante : $z'= 2 + 2\text{e}^{2\text{i}\theta}$ et en déduire que $M'$ est situé  sur un cercle $\Gamma'$ dont on précisera le centre et le rayon.

Tracer $\Gamma'$ sur le dessin, 
	\end{enumerate}
\item  On appelle D le point d'affixe $d = 2 + \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}}{2}$ et on désigne  par D$'$ l'image de D par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe $d - 2$.
		
En déduire que D est situé sur le cercle $\Gamma$.
		\item  À l'aide la question 2.  b., donner une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{AD}'}\right)$ et placer le point D$'$ sur le dessin. 
		\item  Démontrer que le triangle OAD$'$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose connu le résultat suivant :

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$ alors, pour $t$ réel positif, $p(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Démontrer l'égalité suivante : $p(X > t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item[$\bullet~$] En déduire que, pour $s$ et $t$ réels positifs, l'égalité suivante est vraie\\
$P_{(X>t)}(X> s + t)  = p(X> s)$ (loi de durée de vie sans vieillissement),\\
$P_{(X>t)}(X> s + t)$ désignant la probabilité de l'évènement $(X> s + t)$ sachant que $(X> t)$ est réalisé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression exacte de $\lambda$ sachant que $p(T \leqslant  10) = 0,7$.
		
On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur $0,12$ comme valeur
approchée de $\lambda$. 
		\item Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle

$P_{(T > 10)}(T> 15)$. 
		\item Sachant qu'un client a déjà attendu $10$ minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas $15$ minutes.
		
On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à $0,01$ près de la réponse.
	\end{enumerate} 
On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6~caisses sont ouvertes. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10~minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature et les paramètres caractéristiques de  $Y$.
		\item Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10~minutes.
		
Déterminer à $0,01$ près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un  cube ABCDEFGH, on désigne par I et J  les milieux respectifs
des segments  [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGF. Les calculs   seront effectués dans le repère orthonormal  $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\parbox{0.65\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
			\item  Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un parallélogramme.
			
Établir que DIFJ est en fait un losange et
montrer que l'aire de ce losange est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}} 
\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\begin{pspicture}(3.5,3.5)
\psframe(0.4,0)(2.4,2)%ABFE
\psline(2.4,0)(3.1,1)(3.1,3)(2.4,2)%BCGF
\psline(3.1,3)(1.1,3)(0.4,2)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.4,0)(1.4,1)(3.1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1)(1.4,3)
\uput[dl](0.4,0){A}  \uput[d](1.4,0){I}  \uput[dr](2.4,0){B}  
\uput[r](3.1,1){C}  \uput[u](2.75,1){K}  \uput[ul](1.4,1){D}  
\uput[l](0.4,2){E}  \uput[ul](2.4,2){F}  \uput[ur](3.1,3){G}  
\uput[u](2.1,3){J}  \uput[ul](1.1,3){H}
\psline(1.4,0.1)(1.4,-0.1) \psline(2.1,3.1)(2.1,2.9)
\rput(2.73,1.48){$\times$}  
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[]
\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{1}
\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (DIJ).\\
En déduire une équation cartésienne de ce plan.\\
\item Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d'une pyramide de hauteur $h$ et de base correspondante $\mathcal{B}$ est donné par la formule
suivante  V $= \dfrac{1}{3} \times  \mathcal{B}\times  h$.
\end{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit  ($\Delta$) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ)
	\begin{enumerate}
		\item Donner  une représentation paramétrique de ($\Delta$) et prouver que K est un point  de ($\Delta$). 
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection L de ($\Delta$) et du plan (DIJ).
		\item Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG. 
	\end{enumerate}
\item  Soit (S) l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient  l'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - y - z + \dfrac{4}{3} =  0$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à 	(S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A et C les points d'affixes respectives 1 et 2i.\\
Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier le fait qu'il existe une unique similitude directe $s$ qui transforme O en I et A en C. 
		\item  Déterminer l'écriture complexe de $s$. En déduire les éléments caractéristiques de $s$ et, en particulier, établir que l'affixe du centre $\Omega$ de $s$ vaut $\dfrac{1 + 3\text{i}}{5}$.
		\item  Vérifier par un calcul que $\Omega$ est situé sur le cercle $\Gamma$ de centre A passant par O.
	\end{enumerate}
\item  Soit $f$ l'application du plan complexe d'écriture complexe 

\[z \longmapsto \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z}  + \dfrac{8 + 4\text{i}}{5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les images par $f$ des points A et C. En déduire la nature précise de $f$, puis démontrer que I est l'image de $\Omega$ par la symétrie orthogonale d'axe (AC). 
		\item  Construire le cercle $\Gamma$ sur le dessin et placer également le point $\Omega$ en utilisant les informations géométriques précédentes. 
	\end{enumerate}
\item  À tout point $M$ d'image $M'$ par $s$, on associe le point $M''$ défini par l'égalité vectorielle $\vect{M'M''} = \vect{\Omega M}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le point $\Omega''$ associé à $\Omega$ ? 
		\item  Construire avec soin le point A$''$ en laissant les traits de construction.
		\item  On suppose maintenant que $M$ a pour affixe $z$.\\
Démontrer que $M''$ a pour affixe $z'' = \text{i}z + \dfrac{4 + 2\text{i}}{5}$.

En déduire que $M''$ est l'image de $M$ par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. 
		\item  Déterminer et représenter sur le dessin l'ensemble $\Gamma''$ des points $M''$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe (exercice de spécialité)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(2,2.25)
\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.25)(2,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(1,2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\uput[d](1,0){A} \uput[r](1,1){I} \uput[ur](1,2){B} 
\uput[l](0,2){C} 
\psline(0.98,1)(1.02,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}