%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 2006}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip On se propose de déterminer des valeurs approchées de l'intégrale \[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t\] en utilisant deux méthodes distinctes. \smallskip Les parties A et B sont largement indépendantes l'une de l'autre. \medskip \textbf{PARTIE A} \textbf{Utilisation d'une intégration par parties} \medskip \begin{enumerate} \item En remarquant que $\dfrac{10t^2}{1 + t^2}= 5t \times \dfrac{2t}{1 + t^2}$, établir l'égalité \[\text{I} = \dfrac{5}{2}\times \ln \left(\dfrac{5}{4}\right) - 5 \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t.\] \item On pose, pour $x$ positif ou nul, $f(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2}$ et $g(x) = \ln (1 + x) - x$. \begin{enumerate} \item En utilisant les variations de $f$, démontrer que $f (x) \geqslant 0$. En procédant de la même façon, on pourrait établir que $g(x) \leqslant 0$, inégalité que l'on admettra ici. \item À l'aide de ce qui précède, montrer que l'encadrement : \[t^2 - \dfrac{t^4}{2} \leqslant \ln \left(1 + t^2\right) \leqslant t^2.\] est vrai pour tout réel $t$. \item Déduire de la question précédente que \[\dfrac{5}{24} \leqslant -5\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t \leqslant - \dfrac{37}{192}.\] \end{enumerate} \item En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \textbf{Utilisation de la méthode d'Euler} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $\Phi(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t$ pour $x \in \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$. Préciser $\Phi(0)$ ainsi que la fonction dérivée de $\varphi$. \item On rappelle que la méthode d'Euler permet de construire une suite de points $M_{n}\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ proches de la courbe représentative de $\varphi$. En choisissant comme pas $h = 0,1$, on obtient la suite de points $M_{n}$ définie pour $n$ entier naturel par : \[\left\{\begin{array}{l c l} x_{0}& =& 0\\ y_{0}& =&0\\ \end{array}\right.~ \text{et}~\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=& x_{n} + 0,1\\ y_{n+1}&=&y_n + \Phi'\left(x_{n}\right) \times 0,1\\ \end{array}\right.\] En utilisant, sans la justifier, l'égalité $x_{n} = \dfrac{n}{10}$, vérifier que $y_{n+1} = y_{n} + \dfrac{n^2}{100 + n^2}$. \item Calculer $y_{1}$, et $y_{2}$, puis exprimer $y_{3},{}y_{4}$ et $y_{5}$ sous la forme d'une somme de fractions que l'on ne cherchera pas à simplifier. Donner maintenant une valeur approchée à $0,001$ près de $y_{5}$. Le réel $x_{5}$ étant égal à $\dfrac{1}{2},{}y_{5}$ est donc une valeur approchée de $\Phi\left(\dfrac{1}{2}\right)$ c'est-à-dire de I. \item Avec la méthode d'Euler au pas $h = 0,01$, on obtient, pour I, la valeur approchée $0,354$. Les valeurs de I obtenues avec la méthode d'Euler sont-elles compatibles avec l'encadrement de la question 3. de la partie A ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A et B les point, d'affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2~cm) qui sera complété selon indications de l'énoncé. \emph{La question $1$ est indépendante des questions $2$ et $3$.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \[z^2 - 4z + 6 = 0.\] \item On désigne par M$_{1}$ et M$_{2}$ les points d'affixes respectives \[z_{1} = 2 + \text{i}\sqrt{2}~ \text{et}~ z_{2} = 2 - \text{i}\sqrt{2}.\] Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{z_{1} - 3}{z_{1}}$. En déduire que le triangle OBM$_{1}$ est un triangle rectangle. \item Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M$_{1}$ et M$_{2}$, appartiennent à un m\^eme cercle $\mathcal{C}$ que l'on précisera. Tracer le cercle $\mathcal{C}$ et placer les points M$_{1}$ et M$_{2}$ sur le dessin. \end{enumerate} \item On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par l'égalité $z'= z^2 - 4z + 6$. On désigne par $\Gamma$ le cercle de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin, \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité suivante $z'- 2 = (z - 2)^2$. \item Soit $M$ le point de $\Gamma$ d'affixe $z = 2 + \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ désigne un réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. Vérifier l'égalité suivante : $z'= 2 + 2\text{e}^{2\text{i}\theta}$ et en déduire que $M'$ est situé sur un cercle $\Gamma'$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma'$ sur le dessin. \end{enumerate} \item On appelle D le point d'affixe $d = 2 + \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}}{2}$ et on désigne par D$'$ l'image de D par $f$. \begin{enumerate} \item Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe $d - 2$. En déduire que D est situé sur le cercle $\Gamma$. \item À l'aide la question 2. b., donner une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{AD}'}\right)$ et placer le point D$'$ sur le dessin. \item Démontrer que le triangle OAD$'$ est équilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose connu le résultat suivant : Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$ alors, pour $t$ réel positif, $p(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Démontrer l'égalité suivante : $p(X > t) = \text{e}^{- \lambda t}$. \item[$\bullet~$] En déduire que, pour $s$ et $t$ réels positifs, l'égalité suivante est vraie\\ $P_{(X>t)}(X> s + t) = p(X> s)$ (loi de durée de vie sans vieillissement),\\ $P_{(X>t)}(X> s + t)$ désignant la probabilité de l'évènement $(X> s + t)$ sachant que $(X> t)$ est réalisé. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une expression exacte de $\lambda$ sachant que $p(T \leqslant 10) = 0,7$. On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur $0,12$ comme valeur approchée de $\lambda$. \item Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle $P_{(T > 10)}(T> 15)$. \item Sachant qu'un client a déjà attendu $10$ minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas $15$ minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à $0,01$ près de la réponse. \end{enumerate} On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6~caisses sont ouvertes. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10~minutes. \begin{enumerate} \item Donner la nature et les paramètres caractéristiques de $Y$. \item Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10~minutes. Déterminer à $0,01$ près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGF. Les calculs seront effectués dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \parbox{0.65\linewidth}{ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un parallélogramme. Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que l'aire de ce losange est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\linewidth}{\begin{pspicture}(3.5,3.5) \psframe(0.4,0)(2.4,2)%ABFE \psline(2.4,0)(3.1,1)(3.1,3)(2.4,2)%BCGF \psline(3.1,3)(1.1,3)(0.4,2)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.4,0)(1.4,1)(3.1,1) \psline[linestyle=dashed](1.4,1)(1.4,3) \uput[dl](0.4,0){A} \uput[d](1.4,0){I} \uput[dr](2.4,0){B} \uput[r](3.1,1){C} \uput[u](2.75,1){K} \uput[ul](1.4,1){D} \uput[l](0.4,2){E} \uput[ul](2.4,2){F} \uput[ur](3.1,3){G} \uput[u](2.1,3){J} \uput[ul](1.1,3){H} \psline(1.4,0.1)(1.4,-0.1) \psline(2.1,3.1)(2.1,2.9) \rput(2.73,1.48){$\times$} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item[] \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{1} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\\ \end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (DIJ).\\ En déduire une équation cartésienne de ce plan.\\ \item Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d'une pyramide de hauteur $h$ et de base correspondante $\mathcal{B}$ est donné par la formule suivante V $= \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B}\times h$. \end{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Soit ($\Delta$) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ) \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de ($\Delta$) et prouver que K est un point de ($\Delta$). \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection L de ($\Delta$) et du plan (DIJ). \item Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG. \end{enumerate} \item Soit (S) l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - y - z + \dfrac{4}{3} = 0$. \begin{enumerate} \item Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon. \item Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par A et C les points d'affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB]. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier le fait qu'il existe une unique similitude directe $s$ qui transforme O en I et A en C. \item Déterminer l'écriture complexe de $s$. En déduire les éléments caractéristiques de $s$ et, en particulier, établir que l'affixe du centre $\Omega$ de $s$ vaut $\dfrac{1 + 3\text{i}}{5}$. \item Vérifier par un calcul que $\Omega$ est situé sur le cercle $\Gamma$ de centre A passant par O. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application du plan complexe d'écriture complexe \[z \longmapsto \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{8 + 4\text{i}}{5}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les images par $f$ des points A et C. En déduire la nature précise de $f$, puis démontrer que I est l'image de $\Omega$ par la symétrie orthogonale d'axe (AC). \item Construire le cercle $\Gamma$ sur le dessin et placer également le point $\Omega$ en utilisant les informations géométriques précédentes. \end{enumerate} \item À tout point $M$ d'image $M'$ par $s$, on associe le point $M''$ défini par l'égalité vectorielle $\vect{M'M''} = \vect{\Omega M}$. \begin{enumerate} \item Quel est le point $\Omega''$ associé à $\Omega$ ? \item Construire avec soin le point A$''$ en laissant les traits de construction. \item On suppose maintenant que $M$ a pour affixe $z$. Démontrer que $M''$ a pour affixe $z'' = \text{i}z + \dfrac{4 + 2\text{i}}{5}$. En déduire que $M''$ est l'image de $M$ par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. \item Déterminer et représenter sur le dessin l'ensemble $\Gamma''$ des points $M''$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (exercice de spécialité)} \vspace{1cm} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture}(-1,-0.25)(2,2.25) \psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.25)(2,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psframe(1,2) \uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[d](1,0){A}\uput[r](1,1){I}\uput[ur](1,2){B} \uput[l](0,2){C} \psline(0.98,1)(1.02,1) \end{pspicture} \end{center} \end{document}