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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à l'académie de la Martinique pour le sujet
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\,\% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.
 
À l'issue des tests, il est noté que

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 96\,\% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; 
\item[$\bullet~~$] 97\,\% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la peluche répond aux normes en vigueur \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la peluche est acceptée à l'issue des tests \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
\index{probabilités} 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
\index{arbre} 
\item Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. 
\item Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
\index{loi exponentielle}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que $P(D \leqslant 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.
 
Calculer la valeur exacte de $\lambda$. 
\item On prendra ici $\lambda = \np{0,1733}$.
 
Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.
 
Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$~jours.
\index{loi normale}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $X = \dfrac{J - 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ? 
\item On sait que $P(J  \leqslant 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]

\index{fonction exponentielle}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
On donne en \textbf{annexe}  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
\index{suite}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer sur le graphique donné en \textbf{annexe}, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents. 
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. 

Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
 
\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]
 
Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe} afin qu'il calcule $S_{100}$. 
\index{algorithme}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : 

\[\text{e}^x - x^n = 0\]

où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : 
 
\[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\] 
\index{fonction logarithme népérien} 
\item Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$  admet-elle deux solutions ?
\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. 

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 

\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
\index{complexes} 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.
 
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 

On laissera les traits de construction apparents. 
\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 

\[|f(z) - 8| = 3.\]
\index{complexes et géométrie}
 
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

Tracer (F) sur le graphique. 
\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est 

\[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
 
		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
		 
Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
 
Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité}

\medskip 
 
Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.
 
D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence. 

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. 

On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I  = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. 

On suppose que le 1\up{er} janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50~millions d'euros et l'agence Y possède 10~millions d'euros. 

L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : 

\[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\] 
\index{matrices}
\begin{enumerate}
\item Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$. 
\item Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros. 
\item On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$. 
		\item Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$.
	\end{enumerate}
	\medskip
	 
On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$

$A^n = P D^nQ$.

\medskip
 
\item On pose pour tout entier naturel $n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$. 
		\item Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel. On admet que 

\[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(-  0,3^n + 0,7^n\right)\\ 
0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs. 
		\item En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie} 

\bigskip

\textbf{Partie B - Question 1}
 
\bigskip

\psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.8,0.8){$\Delta$}
\uput[u](1.8,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Partie C}

\bigskip

\begin{tabular}{|l|}\hline 
Déclaration des variables :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$S$ et $u$ sont des nombres réels\\
			$k$ est un nombre entier
		\end{tabular}\\
Initialisation :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$u$ prend la valeur \ldots \ldots\\
			$S$ prend la valeur \ldots \ldots\\
		\end{tabular}\\
Traitement :\\
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{l} 
				$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
				$S$ prend la valeur \ldots.\\
				\end{tabular}\\
Fin Pour\\ 
Afficher \ldots \ldots\\ 
\end{tabular}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}