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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 1997~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

On dispose de 3 urnes U$_{1}$, U$_{2}$, U$_{3}$ contenant chacune 2 boules indiscernables.

Dans U$_{1}$ une boule est marquée G, l'autre est marquée A ; dans U$_{2}$ une boule est marquée 3, l'autre est marquée 5 ; dans U$_{3}$ une boule est marquée $\dfrac{1}{2}$, l'autre est marquée 2.

 Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suite $u$ de la façon suivante : 
 
si la boule tirée dans U$_{1}$ est marqué A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U$_{2}$ désigne le premier terme $u_{0}$ et la boule tirée dans U$_{3}$ désigne la raison.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité d'avoir : 
	\begin{enumerate}
		\item une suite $u$ arithmétique ; 
		\item une suite $u$ convergente ; 
		\item une suite $u$ telle que $u_{4}$ soit un nombre entier pair.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité d'avoir une suite $u$ qui ne soit pas convergente sachant qu'elle est géométrique. 
\item Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numérique $u$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si $u$ est géométrique, il gagne 5~F;
\item si $u$ est arithmétique et $u_{4} \leqslant 7$, il perd 4~F;
\item si $u$ est arithmétique et $u_{4} > 7$, il perd 6~F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item donner la \og loi de probabilité \fg{} de $X$ ; 
\item calculer l'espérance de $X$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD de centre O tel que AB = 6~cm et $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. On définit les points P, Q,  R, S de la façon suivante : 

\[\vect{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}},\quad \vect{\text{BQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}},\quad  \vect{\text{CR}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{CD}},\quad \vect{\text{DS}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{DA}}. \]

\emph{Le but de l'exercice est de préciser la nature du quadrilatère} PQRS \emph{en utilisant deux méthodes différentes.}
 
Placer les points P, Q, R et S sur une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Première méthode : utilisant les nombres complexes 

\medskip

On considère le repère orthonormal $\left(\text{A},~\vect{u},~\vect{v}\right)$, les vecteurs unitaires étant respectivement colinéaires et de même sens que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$, l'unité étant le cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les affixes $a,\: b,\: c,\: d$ respectives des points A, B, C, D.
		 
Calculer les affixes $p,\: q,\: r,\: s$ respectives des points P, Q,  R, S. 
		\item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{PQ}}$ et $\vect{\text{SR}}$, puis le quotient $\dfrac{s - p}{q - p}$.
		\item Interpréter géométriquement ces résultats et en déduire la nature du quadrilatère PQRS ?
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Deuxième méthode : géométrique}

\medskip 

On note $f$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images par $f$ de A et B. Montrer que l'image de P par $f$ est le point Q. 
		\item Déterminer les images de Q,  R et S par $f$. 
		\item En utilisant ce qui précède, préciser et justifier la nature du quadrilatère PQRS. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction numérique}

\medskip

On considère la fonction numérique définie par :
\[\begin{array}{l l c l}
f:& \R& \to&\R\\
&x &\longmapsto&f(x) = x + \text{e}^{- x}
\end{array}\] 

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal direct \Oij{} du plan, l'unité graphique est 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$, 
[on pourra écrire $f(x)$ sous la forme: $f(x) = \text{e}^{- x}\left(x\text{e}^x + 1\right)]$. 
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.
\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$. Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$. 
\item Tracer $D$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une transformation du plan}

\medskip
 
Soit l'application $r$ du plan $(P)$ dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : 

\[z'= \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)z.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le module et l'argument de $- \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et reconnaître $r$. 
\item On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$ où $x,\: y,\: x'$ et $y'$ sont quatre réels. Calculer $z$ en fonction de $z'$. En déduire $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. 
\item On suppose que le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{C}$, montrer que les coordonnées $x'$ et $y'$ de $M'$ image de $M$ par $r$ vérifient la relation : 

\[y' = - x' + \sqrt{2}\ln \left(x\sqrt{2}\right).\]

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude d'une fonction numérique }

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = - x + \sqrt{2}\ln \left(x\sqrt{2}\right).\]
 
Soit $\mathcal{C}'$ sa représentation graphique dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de $g$. 
\item En utilisant éventuellement les résultats obtenus dans la partie B, tracer la courbe $\mathcal{C}'$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : Calcul d'aire} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}} \ln \left(x\sqrt{2}\right)\:\text{d}x$ en utilisant une intégration par parties. 
\item Soit $D$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées vérifient : 

\[1 \leqslant  x \leqslant \sqrt{2} \quad  \text{et} \quad  g(x)\leqslant y\leqslant f(x).\] 

Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine $D$ ; on en donnera une valeur approcheée \`a $10^{-2}$. 
\end{enumerate}
\end{document}