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% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2011}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = x \ln x - 1.\]
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
 
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à la précision $10^{-2}$. 
\item Déterminer le signe de $f(x)$ lorsque $x$ appartient à $]0~;~+ \infty[$. 
\item Montrer que $\ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Calcul d'une intégrale}

\medskip
 
On donne en annexe la courbe $\mathcal{C}$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante : 

\[I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'intégrale $I$ est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale 

\[J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.\]
  
\item Montrer l'égalité : $I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8$.

En déduire une valeur approchée de $I$ à $10^{-1}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : 

A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + \phantom{2}t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t
\end{array}\right.,\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère l'ensemble $P$ des points $M (x~;~y~;~z)$ de l'espace tels que :

\[ z = x^2 + y^2.\]
 
Les trois questions sont indépendantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $z = 5$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $y = 1$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la sphère $S$. 
		\item Montrer que l'intersection de la sphère $S$ et de l'ensemble $P$ est un cercle.
	\end{enumerate} 
\item Le but de cette question est de déterminer les points $M(x~;~y~;~z)$ de l'ensemble $P$, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation $- 3x + 2 y = 1$ et vérifiant $z \leqslant 25$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : $- 3x + 2y = 1$. 
		\item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). 
Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont des entiers relatifs vérifiant :
 
\[-3x+2y = 1\quad  \text{et} \quad  z \leqslant 25.\]
 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. 

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. 
		\item Faire une figure et construire les points P et Q.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. 
		\item Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle 
		$\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$.
 
On suppose que l'origine O du repère \Ouv{} est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. 
		\item Montrer que $a + b + c = 0$.
		 
		\item Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. 
		\item En utilisant la partie A, en déduire que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$.  
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.  
		\item Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$. 
		\item Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Un site internet propose des jeux en ligne.
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Pour un premier jeu : 
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. 
\item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$.
 
L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
	
}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$.  
\item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. 
		\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}$. 
		\item Déterminer la limite de $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. 

On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
 
La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. 

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. 
		\item Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. 
		\item Déterminer l'espérance de X.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. 
Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. 
		\item Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro. Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}

\vspace{1,5cm}

\end{flushleft}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6.5,5.75)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(6.5,5.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5.75){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](4,4.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{4.4}{x ln x mul 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}