%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %\usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S juin 2003} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small septembre 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles--Guyane septembre 2004~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\] Les deux parties peuvent être abordées indépendamment. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative. \item \begin{enumerate} \item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathcal{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation \[f(x) = \ln (x) \quad \text{sur}~~[1~;~+\infty[.\] \item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par : \[g (x) = \ln (x) - f(x)\] est strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$. En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~+\infty[$. \item Déterminer à $10^{-3}$ près une valeur approchée de $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer : \[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3 x^2\text{e}^{-2x}\,\text{d}x.\] \item On définit le solide $\mathcal{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant 3$ dans le plan ($x\text{O}\negthinspace y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ du solide est donné par : \[\mathcal{V} = \pi\displaystyle\int_{0}^3 [f(x)]^2\,\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $\mathcal{V}$ en fonction de I. \item Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm$^3$ près du volume du solide. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravité respectifs des triangles B CA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. \begin{center}\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(6,7) \rput(2.3,5.5){$\bullet$} \uput[u](2.3,5.5){A} \rput(1.3,3.5){$\bullet$} \uput[l](1.3,3.5){B} \rput(5.2,3.4){$\bullet$} \uput[r](5.2,3.4){C} \rput(3.2,0){$\bullet$} \uput[d](3.2,0){A$'$} \rput(5.5,7){$\bullet$} \uput[r](5.5,7){B$'$} \rput(0,5.3){$\bullet$} \uput[l](0,5.3){C$'$} \rput(3.2,2.2){$\bullet$} \uput[d](3.2,2.2){P} \rput(4.3,5.3){$\bullet$} \uput[ur](4.3,5.3){Q} \rput(1.15,4.7){$\bullet$} \uput[l](1.15,4.7){R} \pspolygon(2.3,5.5)(1.3,3.5)(5.2,3.4) \pspolygon(3.2,2.2)(4.3,5.3)(1.15,4.7) \pspolygon(2.3,5.5)(5.5,7)(5.2,3.4)(3.2,0)(1.3,3.5)(0,5.3) \end{pspicture} \end{center} \medskip On note $a,~b,~c,~a',~b',~c',~p,~q$ et $r$ les affixes respectives des points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, P, Q et R. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire, avec les affixes des points concernés, que C$'$ est l'image de A dans une rotation d'angle de mesure dont on précisera le centre. \item Montrer que $a'+ b'+ c' = a + b + c$. \end{enumerate} \item En déduire que $p + q + r = a + b + c$. \item En déduire que les triangles ABC, A$'$B$'$C$'$ et PQR ont même centre de gravité. \item Montrer que : \[3(q - p) = \left(b’ - c\right) + \left(c - a’\right) + (a - b).\] On admettra que, de même : $3(r - p) = (a - c) + \left(b - a’\right) + \left(c’ - b\right).$ \item Justifier les égalités suivantes : \[a - c = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(b’ - c\right)~ ;~ b - a' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(c - a’\right) ~;~ c' - b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b).\] \item Déduire des \textbf{questions 4.} et \textbf{5.} que le triangle PQR est équilatéral. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 (obligatoire)} \hfill 5 points} \medskip \Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$. Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$. Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ distinct de O, d'affixe $z$ , associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'= \dfrac{-1}{\overline{z}}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit E le point d'affixe e$^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , on appelle E$'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de E$'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. \item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et K$'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de K$'$. \item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$. \end{enumerate} \item On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$ ; $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$. En déduire que $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|.$ \item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ décrit l'intervalle $]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat de \textbf{a.}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 (spécialité)} \hfill 5 points} \medskip Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué. \medskip \begin{enumerate} \item Le PGCD de \np{2004} et \np{4002} est 6. \item Si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels non nuls, $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$ et par $2^{q} - 1$. \item Pour tout $n$ de $\N^{*},~ 2^n - 1$ n'est jamais divisible par 9. \item L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation : \[24x + 35y = 9\] est l'ensemble des couples : \[(-144 + 70k~;~99 -24k)~\text{où}~k \in \Z.\] \item Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note $f$ l'homothétie de centre A et de rapport 3 et $g$ l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{1}{3}$ alors $g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB.}}$. \item Soit $s$ la similitude d'écriture complexe $z' = \text{i}\overline{z} + (1 - \text{i})$, l'ensemble des points invariants de $s$ est une droite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textsl{Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée.} \textsl{Les trois questions sont indépendantes.} \begin{enumerate} \item La probabilité pour un individu d'une population d'être atteint d'une maladie M est égale à $0,003$. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50\,\% des cas ; \item[$\bullet~$] le test est positif pour 3\,\% des personnes saines. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Quelle est à 0,01 près la probabilité d'avoir la maladie M lorsque le test est positif ? \[{\huge \Box}\quad 0,95\quad {\huge \Box}\quad 0,9\quad {\huge \Box}\quad 0,15 \quad {\huge \Box}\quad 0,05\] \item On considère une planche à clous de ce type : \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(6,4) \psline(0,0.8)(0,0.5)(1.1,0.5)(1.1,0.8) \psline(1.5,0.8)(1.5,0.5)(2.6,0.5)(2.6,0.8) \psline(3,0.8)(3,0.5)(4.1,0.5)(4.1,0.8) \psline(4.5,0.8)(4.5,0.5)(5.6,0.5)(5.6,0.8) \pscircle*(1.3,1.1){0.2}\pscircle*(2.8,1.1){0.2} \pscircle*(4.3,1.1){0.2}\pscircle*(2,1.9){0.2} \pscircle*(3.5,1.9){0.2}\pscircle*(2.8,2.7){0.2} \pscircle(2.8,3.7){0.3} \psline{->}(2.8,3.4)(2.8,3) \psline{->}(2.8,3)(2.2,2.5) \psline{->}(2.8,3)(3.4,2.5) \psline{->}(4.2,2.8)(3.7,2.2) \rput(4.4,2.9){clou} \rput(2.8,3.7){B} \rput(2.2,2.8){0,3} \rput(3.4,2.8){0,7} \rput(0.55,0.2){R$_{1}$}\rput(2,0.2){R$_{2}$} \rput(3.55,0.2){R$_{3}$}\rput(5,0.2){R$_{4}$} \end{pspicture} \end{center} On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l'un des quatre récipients notés R$_{1}$, R$_{2}$, R$_{3}$ et R$_{4}$. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d'aller vers la gauche et 0,7 d'aller vers la droite (gauche et droite relatives à l'observateur). On note $p_{1}$ la probabilité que la bille tombe dans le bac R$_{1}$ ou dans le bac R$_{3}$ et $p_{2}$ la probabilité que la bille tombe dans le bac R$_{2}$ ou dans le bac R$_{4}$. Que valent $p_{1}$ et $p_{2}$ ? \[\begin{array}{*{4}{l}} {\huge \Box}\quad& p_{1} = p_{2} =0,5\qquad& {\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,216~\text{et}~p_{2} = 0,784\\ {\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,468~\text{et}~p_{2} = 0,532\\ {\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,468~\text{et}~p_{2} = 0,432.\\ \end{array}\] \item Les \np{1000} premières décimales de $\pi$ sont données ici par un ordinateur : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{X}} 1415926535& 8979323846& 2643383279& 5028841971& 6939937510\\ 5820974944& 5923078164& 0628620899& 8628034825& 3421170679\\ 8214808651& 3233066470& 9384460959& 0582235725& 3594085234\\ 8111745028& 4102701930& 5211055596& 4462294895& 4930301964\\ 4288109756& 6593344612& 8475648233& 7867831652& 7120190914\\ 5648566923& 4603486534& 5432664825& 3393607260& 2491412737\\ 2450700660& 6315580574& 8815209209& 6282925409& 1715364367\\ 8925903600& 1133053054& 8820466525& 3841469519& 4151160943\\ 3057270365& 7595919530& 9218611738& 1932611793& 1051185480\\ 7446297996& 2749567355& 8857527240& 9122793318& 3011949129\\ 8336733624& 4065664308& 6025394946& 3952247371& 9070217986\\ 0943702770& 5392171762& 9317675238& 4674818467& 6691051320\\ 0056812714& 5263560827& 7857753427& 9778900917& 3637178721\\ 4684409012& 2495343054& 6549585371& 0507922796& 8925892354\\ 2019956112& 1290219608& 6403441815& 9813629774& 7713099605\\ 1870721134& 9999998372& 9780499510& 5973173281& 6096318599\\ 0244594553& 4690830264& 2522300253& 3446850352& 6193110017\\ 1010003137& 8387528865& 8753320830& 1420617177& 6691473035\\ 9825349042& 8755460731& 1595620633& 8235378759& 3751957781\\ 8577805321& 7122600661& 3001927876& 6111959092& 1642019894\\ \end{tabularx} En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeurs &0 &1 & 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline Occurrences &93 &116 &102 &102 &94 & 97 &94 & 95 &101 & 106\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Avec un tableur, on a simulé \np{1000} expériences de \np{1000} tirages aléatoires d'un chiffre compris entre 0 et 9. Pour chaque expérience, on a calculé $d^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=9} \left(f_{k} - 0,1\right)^2$ où $f_{k}$ représente, pour l'expérience, la fréquence observée du chiffre $k$. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile ($d_{1}$ et $d_{9}$), le premier et troisième quartile ($Q_{1}$ et $Q_{3}$) et la médiane (Me) : $d_{1} = \np{0,000422}\:;\: Q_{1} = \np{0,000582}\:;\:\text{Me} = \np{0,000822}\:;\:Q_{3} = \np{0,001136}\:;\: d_{9} = \np{0,00145}.$ En effectuant le calcul de $d_{2}$ sur la série des \np{1000} premières décimales de $\pi$, on obtient : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} {\large $\Box$}~~\np{0,000456} &{\large $\Box$}~~\np{0,00456}&{\large $\Box$}~~ \np{0,000314} \end{tabularx} Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales de $\pi$, fait l'hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10\,\% de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ? \[{\huge \Box}\quad \text{Oui} \quad {\huge \Box}\quad \text{Non} \quad {\huge \Box}\quad \text{Il ne peut pas conclure.}\] \end{enumerate} \end{document}