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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S juin 2003}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 
Antilles--Guyane septembre 2004~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\]

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathcal{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation

\[f(x) = \ln (x) \quad \text{sur}~~[1~;~+\infty[.\]

		\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par :

\[g (x) = \ln (x) - f(x)\]

est strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$.

En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~+\infty[$.
		\item Déterminer  à $10^{-3}$ près une valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer :

\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3  x^2\text{e}^{-2x}\,\text{d}x.\]	

\item On définit le solide $\mathcal{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant  3$ dans le plan ($x\text{O}\negthinspace y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ du solide est donné par :

\[\mathcal{V} = \pi\displaystyle\int_{0}^3 [f(x)]^2\,\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\mathcal{V}$ en fonction de I.
		\item Déterminer alors une valeur approchée  à 1 cm$^3$ près du volume du solide.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA$'$, ACB$'$ et ABC$'$. On considère respectivement les points P, Q et R  centres de gravité respectifs des triangles B CA$'$, ACB$'$ et ABC$'$.

\begin{center}\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\rput(2.3,5.5){$\bullet$} \uput[u](2.3,5.5){A}
\rput(1.3,3.5){$\bullet$} \uput[l](1.3,3.5){B}
\rput(5.2,3.4){$\bullet$} \uput[r](5.2,3.4){C}
\rput(3.2,0){$\bullet$} \uput[d](3.2,0){A$'$}
\rput(5.5,7){$\bullet$} \uput[r](5.5,7){B$'$}
\rput(0,5.3){$\bullet$} \uput[l](0,5.3){C$'$}
\rput(3.2,2.2){$\bullet$} \uput[d](3.2,2.2){P}
\rput(4.3,5.3){$\bullet$} \uput[ur](4.3,5.3){Q}
\rput(1.15,4.7){$\bullet$} \uput[l](1.15,4.7){R}
\pspolygon(2.3,5.5)(1.3,3.5)(5.2,3.4)
\pspolygon(3.2,2.2)(4.3,5.3)(1.15,4.7)
\pspolygon(2.3,5.5)(5.5,7)(5.2,3.4)(3.2,0)(1.3,3.5)(0,5.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On note $a,~b,~c,~a',~b',~c',~p,~q$ et $r$ les affixes respectives des points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$, P, Q et R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire, avec les affixes des points concernés, que C$'$ est l'image de A dans une rotation d'angle de mesure dont on précisera le centre.
		\item Montrer que $a'+ b'+ c' = a + b + c$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que $p + q + r = a + b + c$.
\item En déduire que les triangles ABC, A$'$B$'$C$'$ et PQR ont même centre de gravité.			
\item Montrer que :

\[3(q - p) = \left(b’ - c\right) + \left(c - a’\right) + (a - b).\]

On admettra que, de même : $3(r - p) = (a - c) + \left(b - a’\right) + \left(c’ - b\right).$

\item Justifier les égalités suivantes :

\[a - c = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(b’ - c\right)~ ;~ b - a' =  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(c - a’\right) ~;~ c' - b =  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b).\]

\item Déduire des \textbf{questions 4.} et \textbf{5.} que le triangle PQR est équilatéral.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 (obligatoire)} \hfill 5 points}

\medskip

\Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$.

Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$.

Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ 
distinct de O, d'affixe $z$ , associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'=  \dfrac{-1}{\overline{z}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit E le point d'affixe e$^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , on appelle E$'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de E$'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
		\item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$  et K$'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de K$'$.
		\item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$  où $\theta \in  ]- \pi~;~\pi[$ ; $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$.

En déduire que $\left|z' + 1\right|  = \left|z'\right|.$
		\item Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ décrit l'intervalle $]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une
droite. On pourra utiliser le résultat de \textbf{a.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 (spécialité)} \hfill 5 points}

\medskip

Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le PGCD de \np{2004} et \np{4002} est 6.
\item Si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels non nuls, $2^{pq} - 1$ est divisible par
$2^p - 1$ et par $2^{q} - 1$.
\item Pour tout $n$ de $\N^{*},~ 2^n  - 1$ n'est jamais divisible par 9.
\item L'ensemble des couples d'entiers solutions de l'équation :

\[24x + 35y = 9\]

est l'ensemble des couples :

\[(-144 + 70k~;~99 -24k)~\text{où}~k \in \Z.\]

\item Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note $f$ l'homothétie
 de centre A et de rapport 3 et $g$ l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{1}{3}$
alors $g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB.}}$.
\item Soit $s$ la similitude d'écriture complexe $z' = \text{i}\overline{z} + (1 - \text{i})$, l'ensemble des points invariants de $s$ est une droite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textsl{Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée.}

\textsl{Les trois questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
\item La probabilité pour un individu d'une population d'être atteint d'une maladie M est égale  à $0,003$.
Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50\,\% des cas ;
\item[$\bullet~$] le test est positif pour 3\,\% des personnes saines.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Quelle est  à 0,01 près la probabilité d'avoir la maladie M lorsque le test est positif ?

\[{\huge \Box}\quad 0,95\quad {\huge \Box}\quad 0,9\quad {\huge \Box}\quad  0,15 \quad	{\huge \Box}\quad 0,05\]
\item On considère une planche à clous de ce type :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,0.8)(0,0.5)(1.1,0.5)(1.1,0.8)
\psline(1.5,0.8)(1.5,0.5)(2.6,0.5)(2.6,0.8)
\psline(3,0.8)(3,0.5)(4.1,0.5)(4.1,0.8)
\psline(4.5,0.8)(4.5,0.5)(5.6,0.5)(5.6,0.8)
\pscircle*(1.3,1.1){0.2}\pscircle*(2.8,1.1){0.2} 
\pscircle*(4.3,1.1){0.2}\pscircle*(2,1.9){0.2} 
\pscircle*(3.5,1.9){0.2}\pscircle*(2.8,2.7){0.2}
\pscircle(2.8,3.7){0.3}
\psline{->}(2.8,3.4)(2.8,3)
\psline{->}(2.8,3)(2.2,2.5)
\psline{->}(2.8,3)(3.4,2.5)
\psline{->}(4.2,2.8)(3.7,2.2)
\rput(4.4,2.9){clou} \rput(2.8,3.7){B}
\rput(2.2,2.8){0,3} \rput(3.4,2.8){0,7}
\rput(0.55,0.2){R$_{1}$}\rput(2,0.2){R$_{2}$} 
\rput(3.55,0.2){R$_{3}$}\rput(5,0.2){R$_{4}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l'un des quatre récipients notés R$_{1}$, R$_{2}$, R$_{3}$ et R$_{4}$. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d'aller vers la gauche et 0,7 d'aller vers la droite (gauche et droite relatives  à l'observateur).

On note $p_{1}$ la probabilité que la bille tombe dans le bac R$_{1}$ ou dans le bac R$_{3}$ et $p_{2}$ la probabilité que la bille tombe dans le bac R$_{2}$ ou dans le bac R$_{4}$.
 
Que valent $p_{1}$ et $p_{2}$ ?
 
\[\begin{array}{*{4}{l}}
{\huge \Box}\quad& p_{1} = p_{2} =0,5\qquad&
{\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,216~\text{et}~p_{2} = 0,784\\
{\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,468~\text{et}~p_{2} = 0,532\\
{\huge \Box}\quad& p_{1} = 0,468~\text{et}~p_{2} = 0,432.\\
\end{array}\]
 
\item Les \np{1000} premières décimales de $\pi$ sont données ici par un ordinateur :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{X}} 
1415926535&  8979323846&  2643383279&	5028841971&  6939937510\\
5820974944&  5923078164&  0628620899&	8628034825&  3421170679\\
8214808651&  3233066470&  9384460959&  0582235725&  3594085234\\
8111745028&  4102701930&  5211055596&  4462294895&  4930301964\\
4288109756&  6593344612&  8475648233&	7867831652&  7120190914\\ 
5648566923&  4603486534&  5432664825&	3393607260&  2491412737\\
2450700660&  6315580574&  8815209209&	6282925409&  1715364367\\
8925903600&  1133053054&  8820466525&	3841469519&	4151160943\\
3057270365&  7595919530&  9218611738&	1932611793&  1051185480\\ 
7446297996&  2749567355&  8857527240&	9122793318&	3011949129\\
8336733624&  4065664308&  6025394946&	3952247371&	9070217986\\ 
0943702770&  5392171762&  9317675238&	4674818467&	6691051320\\
0056812714&  5263560827&  7857753427&	9778900917&	3637178721\\ 
4684409012&  2495343054&  6549585371&	0507922796&	8925892354\\
2019956112&  1290219608&  6403441815&	9813629774&  7713099605\\ 
1870721134&  9999998372&  9780499510&	5973173281&	6096318599\\
0244594553&  4690830264&  2522300253&	3446850352&  6193110017\\ 
1010003137&  8387528865&  8753320830&	1420617177&	6691473035\\
9825349042&  8755460731&  1595620633&	8235378759&  3751957781\\ 
8577805321&  7122600661&  3001927876&	6111959092&	1642019894\\
\end{tabularx}
En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau
suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs		&0		&1		&	2	&3		&4		&5		&6		&7		&8 		&9\\ \hline
Occurrences	&93		&116	&102	&102	&94		& 97 	&94		& 95	&101	& 106\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Avec un tableur, on a simulé \np{1000} expériences de \np{1000} tirages aléatoires d'un chiffre compris entre 0 et 9.


Pour chaque expérience, on a calculé $d^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=9} \left(f_{k} - 0,1\right)^2$ où $f_{k}$ représente, pour l'expérience, la fréquence observée du chiffre $k$.

On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile ($d_{1}$ et $d_{9}$), le premier et troisième quartile ($Q_{1}$ et $Q_{3}$) et la médiane (Me) :

$d_{1} = \np{0,000422}\:;\: Q_{1} = \np{0,000582}\:;\:\text{Me} = \np{0,000822}\:;\:Q_{3} = \np{0,001136}\:;\: d_{9} = \np{0,00145}.$

En effectuant le calcul de $d_{2}$ sur la série des \np{1000} premières décimales de $\pi$, on obtient :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
{\large $\Box$}~~\np{0,000456} &{\large $\Box$}~~\np{0,00456}&{\large $\Box$}~~  \np{0,000314}
\end{tabularx}

Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales de $\pi$, fait l'hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10\,\% de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?

\[{\huge \Box}\quad \text{Oui} \quad {\huge \Box}\quad \text{Non} \quad {\huge \Box}\quad \text{Il ne peut pas conclure.}\]
\end{enumerate}
\end{document}