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% Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Vincent Toleron
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}

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\begin{center}{\Large{ \textbf{
\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[7pt]
septembre 2007}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge.

On sait de plus qu'il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne.

On tire au hasard simultanément $2$~boules dans l'urne et on note leur couleur.

Soit l'évènement $G$ : \og obtenir deux boules de même couleur \fg.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On suppose que l'urne contient $3$~boules noires et $7$~boules banches.

Calculer la probabilité de l'évènement $G$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $n,~b$ et $r$ le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne.
\begin{enumerate}
\item On note $g(n,~b,~r)$ la probabilité en fonction de $n$,\: $b$ et $r$ de l'évènement $G$.

Démontrer que $g(n,~b,~r) = \dfrac{1}{210}[n(n - 1) + b(b - 1) + r(r - 1)]$.
\item Le but de cette question est de déterminer $n,~b$ et $r$ afin que la probabilité $g(n,~b,~r)$ soit minimale.

L'espace est muni d'un repère \Oijk{} orthonormal.

Soient les points N, B et R de coordonnées respectives (15~;~0~;~0), (0~;~15~;~0) et (0~;~0~;~15) et soit $M$ le point de coordonnées $(n,~b,~r)$. On pourra se rapporter à la figure ci-dessous.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (NBR) est $x + y + z - 15= 0$.
		\item En déduire que le point $M$ est un point du plan (NBR).
		\item Démontrer que $g(n,~b,~r)  = \dfrac{1}{210}\left(\text{O}M^2 - 15\right).$
		\item Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H.
		\item En déduire tes valeurs de $n,~ b$ et $r$ afin que la probabilité $g(n,~b,~r)$ soit minimale. 
		
Justifier que cette probabilité minimale est égale à $\dfrac{2}{7}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}

\begin{pspicture}(7,7)
%\psgrid
\psframe(7,7)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(0,0)\rput(0.3,0.1){$x$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(7,1.6)\rput(6.9,1.8){$y$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.7,1.6)(1.7,7)\rput(1.9,6.8){$z$}
\pspolygon(0.4,0.4)(6.5,1.6)(1.7,6.3)
\uput[ul](0.4,0.4){N} \uput[ul](1.7,6.3){R} \uput[dr](6.5,1.6){B}
\uput[dr](1.7,1.6){O}\uput[dl](1.9,1.6){\footnotesize $\vect{\imath}$} \uput[ur](1.7,1.6){\footnotesize $\vect{\jmath}$} \uput[ul](1.7,1.6){\footnotesize $\vect{k}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,1.6)(1.5,1.4) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,1.6)(2,1.6)  \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,1.6)(1.7,1.9) 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'évènement $G$ soit $\dfrac{2}{7}.$

Un joueur mise $x$ euros, avec $x$ entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l'urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ.

S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit $k$ fois le montant de sa mise, avec $k$ nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance E($X$) de la variable $X$ en fonction de $x$ et de $k$.
\item Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle le jeu est équitable.
\end{enumerate}



\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre complexe $\alpha$ tel que $\left\{\begin{array}{l c r}
\alpha(1 + \text{i})&=&1 + 3\text{i}\\
\text{i}\alpha^2&=&- 4 + 3\text{i}\\
\end{array}\right.$
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 - (1 + 3\text{i})z + (- 4 + 3\text{i})$.

Montrer que $f(z)$ s'écrit sous la forme $(z - \alpha)(z - \text{i}\alpha)$.

En déduire les solutions sous forme algébrique de l'équation $f(z) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv, unité graphique : 5~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = 2 + \text{i}$  et $b = - 1 + 2\text{i}$.

Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.

Montrer que $b = \text{i}\alpha$, en déduire que le triangle OAB est un triangle  isocèle rectangle tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$
\item On considère le point C d'affixe $c = - 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}$. Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle  isocèle rectangle tel que $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}.$

On pourra conjecturer l'affixe de D à l'aide de la figure pour traiter la question suivante.
\item Soit M le milieu de [CB]. On appelle $z_{\vect{\text{OM}}}$ et $z_{\vect{\text{DA}}}$ les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{OM}}$ et $\vect{\text{DA}}$. Prouver que : $\dfrac{z_{\vect{\text{OM}}}}{z_{\vect{\text{DA}}}} = \dfrac{1}{2}\text{i}$. 
\item Donner une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{DA}},~\vect{\text{OM}}\right).$
\item Prouver que $\text{OM} = \dfrac{1}{2}\text{DA}$.
\item On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].

On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c'est un carré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

ABC est un triangle équilatéral tel que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC }} \right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,~k \in \Z.$

Soit $t$ un nombre réel fixe et soient les points $M,~ N$ et $P$, deux à deux distincts, définis par

\[\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AB}},~\vect{\text{B}N} = t\vect{\text{BC}}~ \text{et}~\vect{\text{C}P} = t\vect{\text{CA}}.\]

Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une unique similitude directe $\sigma$ qui transforme les points A, B et C en respectivement $M,~N$ et $P$, et d'en préciser les éléments caractéristiques.

On munit le plan d'un repère orthonormal \Ouv{} direct.

On note $a,~ b,~c,~m,~n$ et  $p$, les affixes respectives des points A,  B, C,  $M,~N$  et  $P$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que toute similitude conserve le barycentre.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $m,\: n$ et $p$ en fonction de $a,\:b,\:c$ et $t$.
		\item  En déduire que les deux triangles ABC et $MNP$ ont même centre de gravité.

 Ou notera G ce centre de gravité.
		\item  On suppose que $\sigma$ existe. Déterminer l'image de G par $\sigma$.
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation $r$ de centre G et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $M$ est le barycentre du système de points $\{\text{A}(1 -t)~;~\text{B}(t)\}$, et en déduire que $r(M) = N$.

On admet de même que $r(N) = P$  et $r(P) = M$.
		\item  Soit $\sigma_{1}$, la similitude directe de centre G de rapport	$\dfrac{\text{G}M}{\text{GA}}$ et d'angle
		
$\left(\vect{\text{GA}},~\vect{\text{G}M}\right)$.

Montrer qu'elle transforme les points A, B et C en respectivement $M,~ N$ et $P$.
		\item  Conclure sur l' existence et l'unicité de $\sigma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Question de cours}

\medskip

Soit I un intervalle de $\R$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que $u'$ et $v'$ soient continues sur I.

Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~1].

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

On suppose que $f'$ est continue sur l'intervalle [0~;~1].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Utiliser la question de cours pour montrer que :
\[\int_{0}^1 f(x)\,\text{d}x = f(1) - \int_{0}^1 xf'(x)\,\text{d}x.\]
\item En déduire que $\displaystyle\int_{0}^1
[f(x) - f(1)]\,\text{d}x = - \displaystyle\int_{0}^1 xf'(x)\,\text{d}x.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On désigne par $\ln$ la fonction logarithme népérien.

Soit $f$  la  fonction définie sur l'intervalle $]- 2 ~;~ 2[$ par
\[f(x) = \ln \left(\dfrac{2 + x}{2 - x} \right).\]
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative  de $f$  sur l'intervalle $]- 2 ~;~ 2[$ dans un repère orthonormé d'unité graphique $2$~cm.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 2~;~2[$ on a $f'(x) = \dfrac{4}{4 - x^2}$.
		\item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $]- 2 ~;~2[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée sur la feuille annexe.

Hachurer sur cette feuille la partie $\mathcal{P}$ du plan constituée des points $M(x~;~y)$ tels que
\[0 \leqslant x \leqslant 1 \quad \text{et}\quad 	f(x) \leqslant y \leqslant \ln 3.\]
En utilisant la partie A,  calculer en cm$^2$ l'aire de $\mathcal{P}$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(3,4.5)
\psframe(-2.2,-2.2)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.2,-2.2)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.6}{1.9562}{2 x add 2 x sub div ln}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $v = \left(v_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ une suite.

On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = \text{e}^{-v_{n}} +1$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte.}

\emph{Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie.}

\emph{Une bonne réponse donne $0,75$ point, une mauvaise réponse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse est comptée $0$ point.}

\emph{Tout total négatif est ramené à zéro.}
\begin{enumerate}
\item $a$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Si $v_{0} = \ln a$ alors :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}$\quad u_{0} = \dfrac{1}{a} + 1$&\textbf{b.}$\quad u_{0} = \dfrac{1}{1 + a}$&	
\textbf{c.}$\quad u_{0} = - a + 1$&
\textbf{d.}$\quad u_{0} = \text{e}^{-a} + 1$\\
\end{tabularx}
\item Si $v$ est strictement croissante, alors :
	\begin{enumerate}
		\item $u$ est strictement décroissante et majorée par $2$
		\item $u$ est strictement croissante et minorée par $1$
		\item $u$ est strictement croissante et majorée par $2$
		\item $u$ est strictement décroissante et minorée par $1$
	\end{enumerate}
\item Si $v$ diverge vers $+ \infty$, alors :
	\begin{enumerate}
		\item $u$ converge vers $2$
		\item $u$ diverge vers $+ \infty$
		\item $u$ converge vers $1$
		\item $u$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell > 1$
	\end{enumerate}
\item Si $v$ est majorée par $2$, alors :
	\begin{enumerate}
		\item $u$ est majorée par $1 + \text{e}^{-2}$
		\item $u$ est minorée par $1 + \text{e}^{-2}$
		\item $u$ est majorée par $1 + \text{e}^{2}$
		\item $u$ est minorée par $1 + \text{e}^{2}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B} (1 point)

Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a $\ln \left(u_{n}\right) + v_{n} > 0$.
\end{document}