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% Tapuscrit François Hache & Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Philippe Legrand
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Antilles--Guyane 13 septembre 2012~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\Oijk{} est un repère orthonormal de l'espace.

On note $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique est

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\phantom{2}t\\
y&=&- t\\
z&=& 2t
\end{array}\right.\quad \text{où} \:\: t \in \R.\]

Soit $\mathcal{P}$ le plan défini par l'équation $x + y + 2z - 1 = 0$.

Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre B$(1~;~- 1~;~0)$ et de rayon $1$.

\emph{Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse en justifiant soigneusement votre choix.\\ 
Il est attribué pour chaque question $0,5$ point si la réponse est exacte et $0,5$ point si la justification est correcte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ sont : 
	\begin{enumerate}
		\item parallèles;
		\item perpendiculaires;
		\item non parallèles et non perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}$ et perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. $\mathcal{P}'$ admet pour équation cartésienne :
	\begin{enumerate}
		\item $- 2y + z + 2 = 0$ ;
		\item $2x - z = 0$ ;
		\item $x - y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item La droite $\Delta$, intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan d'équation $2x - z = 0$, admet pour représentation paramétrique:
	\begin{enumerate}
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-3}t\\
y &=& -3t + 1\\
z &=& \phantom{-}2t \end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R$ ; 
		\item $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\phantom{2}t\\
y&=&\phantom{2}- t\\
z&=&\phantom{-}2t
\end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R$ ;
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-5}t\\
y &=& - 5t + 1\\
z &=& \phantom{-}2t
\end{array}\right.\quad \text{où}\: t \in \R$.
	\end{enumerate}
\item L'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item un point ;
		\item l'ensemble vide ;
		\item un cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;\quad  z_{\text{C}} = - 1 - 3\text{i}.\]

On note D l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.

On note E l'image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
		\item Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 2~cm, placer les points A et B et C.
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points D et E. Calculer leurs affixes $z_{\text{D}}$ et $z_{\text{E}}$.
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OE}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux et que 

OE = AD.
	\end{enumerate} 
\item Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général. Il est inutile de refaire une figure.

\medskip
 
Soient A, B, C, D et E les points d'affixes respectives non nulles $z_{\text{A}}$,\: $z_{\text{B}}$,\:  $z_{\text{C}}$,\:$z_{\text{D}}$   et $z_{\text{E}}$ tels que

le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ;

le triangle OCD est rectangle isocèle en O avec $\left(\vect{\text{OC}}~;~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ;

Le quadrilatère OBEC est un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les égalités suivantes :

\[z_{\text{B}} = \text{i}z_{\text{A}}\quad;\quad z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{C}}\quad ;\quad z_{\text{E}} = \text{i}z_{\text{A}} + z_{\text{C}}\]

		\item Montrer que 

\[\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} = \text{i}.\]

		\item Interpréter géométriquement $\left|\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} \right|$ et arg\:$\left(\dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}}} \right)$ puis conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On tracera la figure sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 1~cm.

\medskip

\textbf{Partie A : tracé d'une figure}

\medskip

Soient A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 2 - 4\text{i} \:;\: z_{\text{B}} = - 6\text{i}$ ;

$z_{\text{C}} = 3 - 3\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point D tel que le triangle ABD est isocèle rectangle en D, avec 

$\left(\vect{\text{DA}}~;~\vect{\text{DB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
\item Construire le point E tel que le triangle OEA est isocèle rectangle en E avec 
$\left(\vect{\text{EA}}~;~ \vect{\text{EO}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
\item Vérifier que l'affixe du point D est $z_{\text{D}} = - 4\text{i}$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Le but de l'exercice est de montrer de deux manières que les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires et que les distances ED et BC sont égales.}
\bigskip

\textbf{Partie B : première méthode}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la similitude directe de centre A qui transforme B en D.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $g$.
		\item En déduire que l'écriture complexe de $g$ est 

\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z - 3 - \text{i}.\]
 
		\item Justifier que le point E est l'image du point O par la similitude $g$. 
		\item En déduire l'affixe du point E.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{D}}}$ et conclure pour le problème posé. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : deuxième méthode}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

Quelle est l'image du point O par cette  rotation ? Justifier la réponse. 

En déduire la nature du triangle OBC. 
\item Soit $f$ la similitude directe de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$.

Soit $h$ la similitude directe de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'angle et le rapport de la similitude $h \circ f$.
		\item Quelle est l'image de la droite (BC) par $h \circ f$ ? Justifier.
		\item Conclure pour le problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les rues d'une ville nouvelle sont structurées de telle sorte que les p‚tés de maisons sont des carrés superposables et les rues sont toutes parallèles ou perpendiculaires.
On identifie le plan de la ville au quadrillage d'un carré de 10 unités sur 10 dans lequel on se repère avec des points à coordonnées entières qui correspondent aux carrefours :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(11,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](10,10)
\uput[u](5,10){Nord}
\uput[r](10,5){Est}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(1,0)(1,1)(4,1)
\uput[ur](4,1){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le point O a pour coordonnées (0~;~0), le point A a pour coordonnées (4~;~1).

On s'intéresse aux chemins partant de O et arrivant à un autre point $M$ de coordonnées $(p~;~q)$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $p \leqslant 10$ et $q \leqslant 10$.

\medskip

\textbf{À chaque intersection, on ne peut aller que vers le nord (N) ou vers l'est (E).}

\medskip

Dans tout l'exercice, on décrit un chemin à l'aide d'un mot composé successivement des lettres N ou E qui indiquent dans l'ordre la direction à suivre à chaque intersection.

On appelle \emph{longueur} d'un chemin le nombre de lettres employées pour le décrire.

Par exemple :

Pour se rendre en A, on peut suivre par exemple les chemins NEEEE ou ENEEE (marqué en gras sur la figure) ; ces deux chemins ont une longueur égale à 5.

\medskip

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

\medskip

\textbf{Partie A - Dénombrement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la liste de tous les chemins permettant de se rendre en A.
\item Soit $M$ un point de coordonnées $(p~;q)$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $p \leqslant 10$ et $q \leqslant 10$.
 
Exprimer, en fonction de $p$ et $q$, la longueur des chemins qui permettent d'arriver en $M$. 
\item Montrer qu'il y a $\binom{p + q}{p}$ chemins différents qui permettent d'arriver en $M$. 
\item Dénombrer les chemins pour arriver au point C de coordonnées (7~;~5). 
\item Dénombrer les chemins pour arriver en C en passant par A. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une variable aléatoire}

\medskip
 
Tous les chemins considérés dans la suite de l'exercice vérifient les deux propriétés suivantes :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item ils sont de longueur 5 ;
\item un promeneur part de O et à chaque intersection la probabilité qu'il aille vers le Nord est de $\frac{2}{3}$ (et donc de $\frac{1}{3}$ vers l'Est), indépendamment de son choix précédent.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à tout chemin suivi par le promeneur associe le nombre de fois où il va vers le Nord.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Énumérer, en donnant la liste de leurs coordonnées, tous les points sur lesquels peut aboutir un chemin.
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que le promeneur arrive en A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
\item En déduire que si $x \geqslant \text{e}$ alors $f(x) \geqslant \text{e}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 5\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\:\text{ pour tout entier naturel}\: n
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$.
		\item Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
		\item Déterminer sa limite $\ell$.
	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\
Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\
Tant que $X > 2,72$ \\
\hspace{0,5cm}Faire\\
\hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ 
\hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ 
Fin de Tant que\\
Afficher $Y$\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}
 
À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize} X|}}\hline 
$n$ &0& 1 &2 &3 &4  &5\\ \hline 
$u_{n}$&$5$&\np{3,1066746728} &\np{2,7406525323} &\np{2,7183726346}& \np{2,71828183001} &\np{2,7182818285}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,11)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-0.99)(8,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.1}{8}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[u](8,0){$x$}\uput[r](0,11){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}