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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2013}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vect{v}$ et soit P un plan.

On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vect{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vect{u_{2}}$.

Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.

\bigskip

\index{géométrie dans l'espace}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points 

\[\text{A}(0~;~- 1~;~1),\quad  \text{B}(4~;~-3~;~0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1~;~-2~;~-1).\]

On appelle P le plan passant par A, B et C.


On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique  $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-2}t\\y &=& \phantom{-}3t - 1\\z &=& -2t + 8
\end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\R$.\index{equation paramétrique@équation paramétrique}

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P.
\item \textbf{Affirmation 2} : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires.
\item \textbf{Affirmation 3} : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$.
\item On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vect{u}(11~;~- 1~;~4)$.

\textbf{Affirmation 4} : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que :

\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude du cas}\boldmath $k = 1$\unboldmath 

\medskip

On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$.
\item Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que :

\[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]

est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. \index{primitive}
\item Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
\item Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Propriétés graphiques}

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.

\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.4}{2 x mul  2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-0.1}{1.4}{10 x mul  2.71828 x 10 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.1}{1.4}{3 x mul  2.71828 x 3 mul exp div}
\psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul}
\uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){$\mathcal{C}_{a}$}
\uput[d](0.68,0.26){\red $\mathcal{C}_{b}$}
\uput[ur](0.9,0.3){\blue $\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes 
$\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
\item
	\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a 

			\[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]

			\item Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum.
			\item En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche.
			\item Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère.
			\item En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\index{loi normale}

Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d'écart-type $\sigma_{2} = 0,05$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} - 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ?

\medskip 
\parbox{0.6\linewidth}{\item Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88~mm et 6,12~mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l'aide d'un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à cette valeur.
 
Déterminer à $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre).}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline
k		& p(Y \leqslant k)\\ \hline
5,8 	&\np{3,16712}\text{E}-05\\ \hline
5,82 	&\np{0,000159109}\\ \hline
5,84 	&\np{0,000687138}\\ \hline
5,86 	&\np{0,00255513}\\ \hline
5,88 	&\np{0,008197536}\\ \hline
5,9 	&\np{0,022750132}\\ \hline
5,92 	&\np{0,054799292}\\ \hline
5,94 	&\np{0,11506967} \\ \hline
5,96 	&\np{0,211855399}\\ \hline
5,98 	&\np{0,344578258}\\ \hline
6 		&\np{0,5}\\ \hline 
6,02 	&\np{0,655421742}\\ \hline
6,04 	&\np{0,788144601}\\ \hline
6,06 	&\np{0,88493033}\\ \hline
6,08 	&\np{0,945200708}\\ \hline
6,1 	&\np{0,977249868}\\ \hline
6,12 	&\np{0,991802464}\\ \hline
6,14 	&\np{0,99744487}\\ \hline
6,16 	&\np{0,999312862}\\ \hline
6,18 	&\np{0,999840891}\\ \hline
6,2 	&\np{0,999968329}\\ \hline
\end{array}$}

\item On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l'évènement \og la pièce est conforme pour la longueur \fg{} et $D$ l'évènement \og la pièce est conforme pour le diamètre \fg. On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.
		 
Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée 

$\left.(\text{le résultat sera arrondi à } 10^{-2}\right)$.
		\item Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\begin{center}  \emph{Les deux parties sont indépendantes}\end{center} 

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Soit il avance d'un pas tout droit ; 
\item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; 
\item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg.

\medskip

\textbf{Partie A} : modélisation et simulation

\medskip

On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0~;~0) au début de la traversée. On note $(x~;~y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1)
\rput(-0.5,0.5){départ}
\uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}
\end{pspicture*}
\end{center}

\index{algorithme}

On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$x, y, n$ sont des entiers\\
Affecter à $x$ la valeur 0\\
Affecter à $y$ la valeur 0\\ 
Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\
\hspace{1.5cm}Affecter à $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$\\
\hspace{1.5cm}Affecter à $y$ la valeur $y + n$\\
\hspace{1.5cm}Affecter à $x$ la valeur $x + 1$ \\
Fin tant que\\
Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2).

Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
\item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note :

$A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg.

$B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg.

$C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg.

On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a

\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\
b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3}
\end{array}\right.\]

\index{probabilité}

On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 
\item Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$. 
\item Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements. 

\parbox{0.35\linewidth}{\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10.

Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-contre).} \hfill
\parbox{0.62\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &$a_{n}$ &$b_{n}$ &$c_{n}$ \\ \hline
0	&0				&1				&0\\ \hline
1	&\np{0,333333} 	&\np{0,333333} &\np{0,333333}\\ \hline
2 	&\np{0,222222} 	&\np{0,333333} &\np{0,222222}\\ \hline
3 	&\np{0,185185} 	&\np{0,259259} &\np{0,185185}\\ \hline
4 	&\np{0,148148} 	&\np{0,209877} &\np{0,148148}\\ \hline
5 	&\np{0,119342} 	&\np{0,168724} &\np{0,119342}\\ \hline
6 	&\np{0,096022} 	&\np{0,135802} &\np{0,096022}\\ \hline
7 	&\np{0,077275} 	&\np{0,109282} &\np{0,077275}\\ \hline
8 	&\np{0,062186} 	&\np{0,087944} &\np{0,062186}\\ \hline
9 	&\np{0,050043} 	&\np{0,070772} &\np{0,050043}\\ \hline
10 	&\np{0,040272} 	&\np{0,056953} &\np{0,040272}\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$A$ et $X$ sont des nombres entiers\\
Saisir un entier positif $A$\\
Affecter à $X$ la valeur de $A$\\
Tant que $X$ supérieur ou égal à 26\\
\hspace{1.25cm}Affecter à $X$ la valeur $X - 26$\\
Fin du tant que\\
Afficher $X$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre $3$ ?
\item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre $55$ ?
\item Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :

\medskip
 
$\bullet~~$\textbf{Étape 1} : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L	&M\\\hline
0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\\hline \hline
N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z \\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25\\\hline 
\end{tabularx}
\medskip

\index{matrice}

On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
 
$\bullet~~$\textbf{Étape 2} : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que 

\[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\]

La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage.
 
$\bullet~~$\textbf{Étape 3} : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l}
z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\
z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25
\end{array}\right.\]

$\bullet~~$\textbf{Étape 4} : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l}
\textbf{Exemple} : \\
RE $\to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to $ DP\\
Le bloc RE est donc codé en DP\\
\end{tabular}
\end{center}

Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à  $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
		3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26).
\end{array}\right.$
		\item En déduire que $x_{1} \equiv  x'_{1}\quad  (26)$ et $x_{2} \equiv  x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$.
	\end{enumerate}
\item On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$. 
		\item Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.
		\item Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\
x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\
\end{array}\right.$
		\item Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
 
On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris 
entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
 
Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y'_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C'	= \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\
x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25
\end{array}\right.$

Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26).
\end{array}\right.$.

Conclure.
\item Décoder QC.
\end{enumerate}
\end{document}