%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{multicol} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles Guyane S - 11 septembre 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{11 septembre 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Restitution organisée de connaissances} \medskip Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vect{v}$ et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vect{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vect{u_{2}}$. Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$. \bigskip \index{géométrie dans l'espace} \textbf{Partie B} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points \[\text{A}(0~;~- 1~;~1),\quad \text{B}(4~;~-3~;~0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1~;~-2~;~-1).\] On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-2}t\\y &=& \phantom{-}3t - 1\\z &=& -2t + 8 \end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\R$.\index{equation paramétrique@équation paramétrique} Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1} : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P. \item \textbf{Affirmation 2} : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires. \item \textbf{Affirmation 3} : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$. \item On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vect{u}(11~;~- 1~;~4)$. \textbf{Affirmation 4} : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que : \[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. \medskip \textbf{Partie A : Étude du cas}\boldmath $k = 1$\unboldmath \medskip On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par \[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera. \item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$. \item Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que : \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\] est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. \index{primitive} \item Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. \item Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Propriétés graphiques} \medskip On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère. \begin{center} \psset{unit=7cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.4}{2 x mul 2.71828 x 2 mul exp div} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-0.1}{1.4}{10 x mul 2.71828 x 10 mul exp div} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.1}{1.4}{3 x mul 2.71828 x 3 mul exp div} \psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul} \uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){$\mathcal{C}_{a}$} \uput[d](0.68,0.26){\red $\mathcal{C}_{b}$} \uput[ur](0.9,0.3){\blue $\mathcal{C}_{2}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes $\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a \[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\] \item Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum. \item En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche. \item Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère. \item En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \index{loi normale} Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle $X$ la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et $Y$ la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{1} = 36$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,2$ et que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu_{2} = 6$ et d'écart-type $\sigma_{2} = 0,05$. \medskip \begin{enumerate} \item Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre $\mu_{1} - 3\sigma_{1}$ et $\mu_{1} + 3\sigma_{1}$. Quelle est une valeur approchée à $10^{- 3}$ près de la probabilité $p_{1}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur ? \medskip \parbox{0.6\linewidth}{\item Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88~mm et 6,12~mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l'aide d'un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de $k$, la probabilité que $Y$ soit inférieure ou égal à cette valeur. Déterminer à $10^{- 3}$ près la probabilité $p_{2}$ pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s'aider du tableau ci-contre).}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline k & p(Y \leqslant k)\\ \hline 5,8 &\np{3,16712}\text{E}-05\\ \hline 5,82 &\np{0,000159109}\\ \hline 5,84 &\np{0,000687138}\\ \hline 5,86 &\np{0,00255513}\\ \hline 5,88 &\np{0,008197536}\\ \hline 5,9 &\np{0,022750132}\\ \hline 5,92 &\np{0,054799292}\\ \hline 5,94 &\np{0,11506967} \\ \hline 5,96 &\np{0,211855399}\\ \hline 5,98 &\np{0,344578258}\\ \hline 6 &\np{0,5}\\ \hline 6,02 &\np{0,655421742}\\ \hline 6,04 &\np{0,788144601}\\ \hline 6,06 &\np{0,88493033}\\ \hline 6,08 &\np{0,945200708}\\ \hline 6,1 &\np{0,977249868}\\ \hline 6,12 &\np{0,991802464}\\ \hline 6,14 &\np{0,99744487}\\ \hline 6,16 &\np{0,999312862}\\ \hline 6,18 &\np{0,999840891}\\ \hline 6,2 &\np{0,999968329}\\ \hline \end{array}$} \item On prélève une pièce au hasard. On appelle $L$ l'évènement \og la pièce est conforme pour la longueur \fg{} et $D$ l'évènement \og la pièce est conforme pour le diamètre \fg. On suppose que les évènements $L$ et $D$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre. Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée $\left.(\text{le résultat sera arrondi à } 10^{-2}\right)$. \item Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité } \begin{center} \emph{Les deux parties sont indépendantes}\end{center} Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière : \medskip \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Soit il avance d'un pas tout droit ; \item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; \item[$\bullet~~$] Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables. \medskip L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg. \medskip \textbf{Partie A} : modélisation et simulation \medskip On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J) comme l'indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0~;~0) au début de la traversée. On note $(x~;~y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(10.5,2.3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,-1)(10,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,griddots=5] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.1,-2.2)(10.5,2.3) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-1) \rput(-0.5,0.5){départ} \uput[ul](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[ur](0,1){J} \end{pspicture*} \end{center} \index{algorithme} On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $x, y, n$ sont des entiers\\ Affecter à $x$ la valeur 0\\ Affecter à $y$ la valeur 0\\ Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $n$ une valeur choisie au hasard entre $- 1,\: 0$ et $1$\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $y$ la valeur $y + n$\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $x$ la valeur $x + 1$ \\ Fin tant que\\ Afficher \og la position de Tom est \fg{} $(x~;~y)$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. \item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note : $A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg. $B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg. $C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg. On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3} \end{array}\right.\] \index{probabilité} On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$. \item Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements. \parbox{0.35\linewidth}{\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10. Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-contre).} \hfill \parbox{0.62\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &$a_{n}$ &$b_{n}$ &$c_{n}$ \\ \hline 0 &0 &1 &0\\ \hline 1 &\np{0,333333} &\np{0,333333} &\np{0,333333}\\ \hline 2 &\np{0,222222} &\np{0,333333} &\np{0,222222}\\ \hline 3 &\np{0,185185} &\np{0,259259} &\np{0,185185}\\ \hline 4 &\np{0,148148} &\np{0,209877} &\np{0,148148}\\ \hline 5 &\np{0,119342} &\np{0,168724} &\np{0,119342}\\ \hline 6 &\np{0,096022} &\np{0,135802} &\np{0,096022}\\ \hline 7 &\np{0,077275} &\np{0,109282} &\np{0,077275}\\ \hline 8 &\np{0,062186} &\np{0,087944} &\np{0,062186}\\ \hline 9 &\np{0,050043} &\np{0,070772} &\np{0,050043}\\ \hline 10 &\np{0,040272} &\np{0,056953} &\np{0,040272}\\ \hline \end{tabularx}} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $A$ et $X$ sont des nombres entiers\\ Saisir un entier positif $A$\\ Affecter à $X$ la valeur de $A$\\ Tant que $X$ supérieur ou égal à 26\\ \hspace{1.25cm}Affecter à $X$ la valeur $X - 26$\\ Fin du tant que\\ Afficher $X$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre $3$ ? \item Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre $55$ ? \item Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) : \medskip $\bullet~~$\textbf{Étape 1} : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\\hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\\hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z \\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\\hline \end{tabularx} \medskip \index{matrice} On obtient une matrice colonne $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot. $\bullet~~$\textbf{Étape 2} : $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}\] La matrice $C = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ est appelée la matrice de codage. $\bullet~~$\textbf{Étape 3} : $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ tel que \[\left\{\begin{array}{l c l c l c l l} z_{1}& \equiv& y_{1}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{1}&\leqslant& 25\\ z_{2}& \equiv& y_{2}\: (26)& \text{avec}\:\: 0 &\leqslant& z_{2}&\leqslant& 25 \end{array}\right.\] $\bullet~~$\textbf{Étape 4} : $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1. \begin{center} \begin{tabular}{|l} \textbf{Exemple} : \\ RE $\to \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}\to $ DP\\ Le bloc RE est donc codé en DP\\ \end{tabular} \end{center} Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& 3x'_{1} + x'_{2} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26). \end{array}\right.$ \item En déduire que $x_{1} \equiv x'_{1}\quad (26)$ et $x_{2} \equiv x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$. \end{enumerate} \item On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP : \begin{enumerate} \item Vérifier que la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $C$. \item Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$. \item Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26)\:\: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\ \end{array}\right.$ \item Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ? \end{enumerate} \item Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\y'_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ où $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$. Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que $\left\{\begin{array}{l c l} x_{1}&\equiv & y'_{1} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\ x_{2}&\equiv &y'_{2} \quad (26) \: \text{avec}\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25 \end{array}\right.$ Montrer que $\left\{\begin{array}{l c l} 3x_{1}+ x_{2} & \equiv& z_{1} \quad (26)\\ 5x_{1}+ 2x_{2}&\equiv&z_{2} \quad (26). \end{array}\right.$. Conclure. \item Décoder QC. \end{enumerate} \end{document}