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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 
2001~\decofourright}} \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

Un joueur achète 10~euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie.
 
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100~euros avec une 
probabilité de $\dfrac{1}{50}$ ou bien ne rien gagner.
 
\begin{description}
\item[ ] $G$ désigne l'évènement : \og Le joueur gagne au grattage \fg.
\end{description}
\smallskip
 
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut gagner 100~euros, ou 200~euros, ou bien ne rien gagner.

\smallskip

\begin{description}
\item[ ]$L_1$ désigne l'évènement \og Le joueur gagne 100 euros à la loterie \fg.
\item[ ]$L_2$ désigne l'évènement \og Le joueur gagne 200 euros à la loterie \fg.
\item[ ]$P$ désigne l'évènement : \og Le joueur ne gagne rien à la loterie \fg.
\end{description}
\smallskip
 
Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100  euros à la loterie est $\dfrac{1}{70}$, et la probabilité qu'il gagne $200$~euros à la loterie est $\dfrac{1}{490}$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent. 
		\item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre obtenu avec cette valeur. 
		\item Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. 
	\end{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du  billet.

La probabilité de l'évènement \og $X = 90$ \fg{} est $\dfrac{2}{125}$.

La probabilité de l'évènement \og $X = 190$ \fg{} est $\dfrac{1}{250}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu'il a gagné 100 euros au grattage, est égale à $\dfrac{1}{10}$. 
		\item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il a gagné 100~euros au grattage. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		 
Calculer l'espérance de $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on désigne par $M(z)$ le point $M$ ayant pour affixe $z$.
\begin{enumerate} \item Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), 
C$(- 4 + 3\text{i})$ et D$(- 8)$, en prenant 1 cm pour unité graphique. 
\item Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe 
le point $M'(z')$ tel que : 
\[z' = (1 + 2\text{i})z - 4 - 2\text{i}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les images des points A et B par $f$.
		\item Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\Omega$, dont on 
précisera l'affixe $\omega$~ ($M$ est un point fixe pour $f$ si, et seulement 
si, $f(M) = M$). 
	\end{enumerate} 
\item On admet que $\omega = 1 - 2$i. Soit $M$ un point quelconque 
et $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout complexe $z$ on a: $z' - z = 2\text{i}(w - z)$.
		 
Dans toute la suite, $M$ est différent de $\Omega$. 
		\item Déduire de la question précédente le rapport des distances $\dfrac{MM'}{\Omega M}$, et l'angle de vecteurs $(\vect{M \Omega}, \vect{MM'})$. 
		\item Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point $M'$, connaissant le point $M$.
		 
Réaliser cette construction sur la figure de la question \textbf{1)} 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center} 
\begin{pspicture}(5,5.5) 
\psline{<->}(0,0)(3.4,0) \psline{<->}(3.8,0.3)(4.9,1.5) \psline{<->}(5,1.5)(5,5.5) 
\psline(0,0.3)(3.4,0.3)(3.4,4.4)(0,4.4)(0,0.3) 
\psline(3.4,0.3)(4.5,1.5)(4.5,5.5)(3.4,4.4) 
\psline(3.4,4.4)(4.5,5.5)(1.2,5.5)(0,4.4) 
\psline[linestyle=dotted](0,0.3)(1.2,1.5)(4.5,1.5) 
\psline[linestyle=dotted](1.2,1.5)(1.2,5.5) 
\rput(1.7,-0.2){$\ell$} \rput(4.35,0.7){$\ell$} \rput(5.2,3.5){$L$} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur $L$, à base carrée de côté $\ell$, où $\ell$ et $L$ sont des entiers naturels non nuls tels que $\ell < L$. On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont  l'arête $a$ est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d'espace vide).
	\begin{enumerate} 
		\item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. Quelle est la plus grande valeur possible pour $a$ ?
		 
Quelles sont les valeurs possibles pour $a$ ? 
		\item Dans cette question, le volume de la boîte B est $v = \np{77760}$. On sait 
que, pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de $a$ est 12. Montrer qu'il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les dimensions. 
	\end{enumerate} 
\item On veut remplir une caisse cubique C, dont l'arête $c$ est un entier naturel 
non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la 
question \textbf{1} (Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d'espace vide). 
	\begin{enumerate} 
		\item Dans cette question, $\ell = 882$ et $L = 945$. Quelle est la plus petite arête $c$ pour la caisse C ? 
		
Quel est l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour l'arête $c$ ? 
		\item Dans cette question, le volume de la boîte B est \np{15435}. On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105.

Quelles sont les dimensions $\ell$ et $L$ de la boîte B ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star$ \textbf{Résolution de l'équation différentielle} \boldmath $(1) : y' - 2y = x\text{e}^x$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (2) : $y' - 2y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\R$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels et soit $u$ la fonction définie 
sur $\R$ par 

\[u(x) = (ax + b) \text{e}^x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit solution de l'équation (1). 
		\item Montrer que $v$ est une solution de l'équation (2) si, et seulement si, $u + v$ est solution de (1). 
		\item En déduire l'ensemble des solutions de (1). 
	\end{enumerate}
\item Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0. 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip

$\star$ \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x - x - 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$ et la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations. 
\item On admet que l'équation $g(x) = 0$ a exactement deux solutions réelles. 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $0$ est l'une de ces solutions. 
		\item L'autre solution est appelée $\alpha$. Montrer que $- 1,6 \leqslant \alpha \leqslant - 1,5$. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du réel $x$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie C}

\medskip

$\star$ \textbf{Étude de la fonction principale}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x\]
 
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en  $- ~\infty$ et la limite de $f$ en $+~\infty$.
 
(On pourra mettre $\text{e}^{2x}$ en facteur.) 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même 
signe.

Étudier le sens de variation de $f$ 
\item Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$ 
où $\alpha$ est défini dans la partie \textbf{B}.
 
En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
 
(On rappelle que $- 1,6 \leqslant \alpha \leqslant - 1,5$.) 
\item Établir le tableau de variations de $f$ 
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm). 
\end{enumerate} 

\newpage
 
\textbf{Partie D}

\medskip
 
$\star$ \textbf{Calcul d'aire} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $m$ un réel négatif. 
Interpréter graphiquement l'intégrale $\displaystyle\int_m^0 f(x)\:\text{d}x$. 
(On justifiera la réponse.) 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\displaystyle\int_m^0 x\text{e}^x\:\text{d}x$, à l'aide d'une intégration par parties. 
		\item En déduire $\displaystyle\int_m^0 f(x) \:\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\item Calculer la limite de $\displaystyle\int_m^0 f(x) \:\text{d}x$, lorsque $m$ tend vers $- \infty$. 
\end{enumerate}
\end{document}