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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2000}} 
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane  septembre 2000~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour tout nombre complexe $z$, on considère

\[f(z) = z^4 - 10z^3 + 38z^2 - 90z + 261.\]
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $b$ un nombre réel. Exprimer en fonction de $b$ les parties
 réelle et imaginaire de $f(\text{i}b)$. En déduire que l'équation $f(z) = 0$
 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
	 \item Montrer qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que
 l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe $z$, 
\[f(z) = \left(z^2 + 9\right) \left(z^2 + \alpha z + \beta \right).\] 
 	\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $f(z) = 
0$.
	\end{enumerate}
 \item Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère 
orthonormal. 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A, B, C et D ayant
 respectivement pour affixes : $a = 3$i,~ $b = -3$i,~ $c = 5 + 2$i et 
 $d = 5 - 2$i. 
		\item Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des points A, B, C, 
D. 
		\item Déterminer l'ensemble E des points $M$ de $\mathcal{P}$ tels que : 
\[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} +
\vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 10.\]
Tracer E sur la figure précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu'il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu'elle \og fait un 
pas \fg.
\end{enumerate}
 
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\textbf{a.} La fourmi se trouve en A.\\ 
  Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité
    qu'elle soit :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en A ? 
\item[$\bullet~$] en B ?
\item[$\bullet~$] en C ? 
\item[$\bullet~$] en D ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\textbf{b.}  Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on 
note :\\
 S$_n$ l'évènement \og la fourmi est au sommet S après $n$ pas \fg, et $p_n$ la probabilité de cet évènement.} 
\hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{
\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6.5,5)
\psline(4.1,0)(6,1.2)(2.9,4.5)(0,0)(4.1,0)(2.9,4.5)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.9,1.2)(2.9,4.5)
\psline[linestyle=dotted](1.9,1.2)(6,1.2)
\uput[l](0,0){A} \uput[dr](4.1,0){B} \uput[r](6,1.2){C} 
\uput[ul](1.9,1.2){D} \uput[ur](2.9,4.5){S}  
\end{pspicture}}\\
 Donner $p_1$.\\ 
En remarquant que S$_{n+ 1}$ =~ S$_{n + 1} \cap \overline{\text{S}_n}$,
 montrer que
\[p_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left(1 - p_n\right).\]

\textbf{2.} On considère la suite $(p_n)$, définie pour tout nombre 
entier $n$ strictement positif par : $\left\{ \begin{array}{l c l}
p_1 & = & \dfrac{1}{3}\\
p_{n+1} & = & \dfrac{1}{3}\left(1 - p_n\right)\\
\end{array}\right.$.

\hspace{0,7cm}\textbf{a.} Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel $n$ strictement
 positif, on a $p_n = \dfrac{1}{4}\left(1 - \left(-~\dfrac{1}{3}\right)^n\right)$.
 
\hspace{0,7cm}\textbf{b.} Déterminer $\displaystyle\lim_{n  \to + \infty} 
p_n$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

L'objet de ce problème est d'étudier, à l'aide d'une fonction auxiliaire, 
une fonction et de résoudre une équation différentielle dont elle est 
solution.

\vspace{0,25cm}

\textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + 2\text{e}^x} - \ln \left(1 + 
2\text{e}^x\right).\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $g'(x)$ et montrer que ce nombre est strictement négatif
 pour tout $x$ de $\R$.
\item Déterminer les limites de $g$ en $- \infty$ et +~$\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $g$.
\item Donner le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul d'une aire}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{-2x} \ln \left(1 + 2\text{e}^x\right).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = 
2\text{e}^{-2x} g(x)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
 On pourra remarquer que : 

\[\text{si on pose}~ X = 1 + 2\text{e}^x,~ f(x)~ \text{s'écrit}~ 4 
\dfrac{X}{(X - 1)^2}  \dfrac{\ln X}{X}.\]

	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer $\mathcal{C}$.
\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x,~\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^x} = \text{e}^{-x} -  2 \dfrac{\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x} + 2}.$
		
En déduire la valeur de l'intégrale $I(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha}	\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^x}\:\text{d}x.$
		\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale :

\[J(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha}f(x)\:\text{d}x.\]

Donner une interprétation graphique de $J(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[\text{(E)}~ :~ y'+ 2y = 2 \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + 2\text{e}^x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie \textbf{B)}
 est solution de (E).
\item Montrer qu'une fonction $\varphi$ est solution de (E) si et
 seulement si $\varphi - f$ est solution de l'équation différentielle 

\[\text{(E$'$)} ~: ~ y'+ 2y = 0.\]
 
\item Résoudre (E$'$) et en déduire les solutions de (E).
\end{enumerate}
\end{document}