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%%%  Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rfoot{\small Asie}
\lfoot{\small  22  juin 2010}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\bf  \decofourleft~Baccalauréat   Asie  ES  22 juin 2010~\decofourright}
\end{center}

\medskip

{\bf\large Exercice 1} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On donne, dans le tableau ci-dessous, la dépense annuelle des ménages français en fruits, exprimée en millions d'euros, de 2000 à 2007 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline
Dépense en millions d'euros $y_{i}$& \np{6396} &\np{7207} &\np{7734} &\np{7996} &\np{8332} &\np{8399} &\np{8546} &\np{8675}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] sur l'axe des abscisses, on placera $0$ à l'origine et on choisira 1~cm pour une unité ; 
\item[] sur l'axe des ordonnées, on placera \np{6200} à l'origine et on choisira 1~cm pour $200$~millions d'euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Un premier groupe de statisticiens réalise un ajustement affine du nuage.
 
Donner une équation de la droite $(d)$ de régression de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l'entier le plus proche. Tracer la droite $(d)$ dans le repère précédent. 
\item Un deuxième groupe de statisticiens réalise un ajustement non affine du nuage, en utilisant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \np{6400} + \np{1100} \ln(1 + x)\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les variations de la fonction $f$ ; 
\item la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item Valider par une démonstration l'une des deux conjectures précédentes. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}  
\item Est-il raisonnable de penser que la dépense annuelle des ménages français en fruits puisse dépasser \np{9200}~ millions d'euros ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0.75cm}

{\bf\large Exercice 2} \hfill{\bf 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Kevin possède un lecteur MP3, dans lequel il a stocké 90 morceaux de jazz et 110 morceaux de musique classique. Un tiers des 90~morceaux de jazz est composé par des auteurs français. Un dixième des 110~morceaux de musique classique est composé par des auteurs français.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Afin d'écouter un morceau de musique, Kevin lance une lecture aléatoire sur son lecteur MP3.  

On admet que cela revient à choisir un morceau de musique de manière équiprobable. On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $J$ l'évènement \og le morceau de musique écouté est un morceau de jazz \fg{} ; 
\item[] $C$ l'évènement \og le morceau de musique écouté est un morceau de musique classique \fg{} ;
\item[] $F$ l'évènement \og l'auteur du morceau de musique écouté est français \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz ? 
		\item Sachant que Kevin a écouté un morceau de jazz, quelle est la probabilité que l'auteur soit français ? 
		\item Calculer la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz composé par un auteur français. 
		\item Quelle est la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit composé par un auteur français ?
	\end{enumerate} 
\item Afin d'écouter trois morceaux de musique, Kevin lance trois fois une lecture aléatoire sur son lecteur MP3. Calculer la probabilité qu'il ait écouté au moins un morceau de jazz.
 
\end{enumerate}

\vspace{0.75cm}

{\bf  \large Exercice 3} \hfill{\bf 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Suite à une étude de marché :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item l'offre d'un produit est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~6]  ;
\item la demande de ce même produit est modélisée par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~6].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ de ces fonctions sont dessinées sur l'annexe (à rendre avec la copie). On désigne par $x$ la quantité du produit exprimée en milliers d'unités, avec $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~6]. Les nombres $f(x)$ et $g(x)$ sont des prix unitaires exprimés en centaines d'euros. L'expression de la fonction $f$ est donnée par 

\[f(x) = 0,4\text{e}^{0,4x}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item On rappelle que le prix d'équilibre est le prix unitaire qui se forme sur le marché lorsque l'offre est égale à la demande. La quantité d'équilibre est la quantité associée au prix d'équilibre. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique le prix d'équilibre $p_{0}$ (en centaines d'euros) et la quantité d'équilibre $q_{0}$ (en milliers d'unités). 
		\item Estimer en euros le chiffre d'affaires réalisé par la vente de cette quantité qo au prix d'équilibre $p_{0}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Mettre en évidence, sur le graphique joint en annexe, l'intégrale suivante : $\displaystyle\int_{0}^5  f(x)\:\text{d}x$. 
		\item Calculer cette intégrale. 
		\item Certains producteurs étaient disposés à proposer un prix inférieur au prix d'équilibre. Le gain supplémentaire réalisé par ces producteurs est appelé le surplus des producteurs. Le surplus des producteurs $S_{p}$ est donné par la formule suivante: 

\[S_{p} = q_{0} \times p_{0} - \int_{0}^5 f(x)\:\text{d}x.\]

Estimer ce surplus (en centaines de milliers d'euros).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Certains consommateurs étaient prêts à payer plus cher que le prix d'équilibre. L'économie réalisée par ces consommateurs est appelée le surplus des consommateurs. Ce surplus est représenté par la partie hachurée du graphique. Par une lecture graphique, Paul estime à moins de 10 unités d'aire cette partie, alors que Jeanne l'estime à plus de 10. Qui a raison ?
		
Argumenter. 
		\item \emph{Dans cette question, toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.}
		 
Pour estimer plus précisément le surplus des consommateurs, Michel approche la courbe $\mathcal{C}_{g}$ par une parabole $P$ passant par les points de coordonnées (1~;~7) et (5~;~3). Il a fait trois essais avec un logiciel de calcul formel, dont les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{2-3} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&\multicolumn{1}{c|}{Équation de la parabole $P$}&\footnotesize Estimation du surplus des consommateurs (en centaines de milliers d'euros)\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Essai 1&$\begin{array}{l c l}y &=& -\dfrac{40}{21}x^2 + \dfrac{292}{21}x - 5\end{array}$&54,7 \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Essai 2&$\begin{array}{l c l}y &=& -\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{43}{6}\end{array}$&14,11\\ \hline  
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Essai 3&$\begin{array}{l c l}y &=& \dfrac{2}{21}x^2 - \dfrac{44}{21}x + 9\end{array}$& 8,0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Quel essai est le plus pertinent ? Expliquer la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

{\bf  \large Exercice 4} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
  
Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère, la parabole d'équation $y = x^2 - 3x - 1$ admet au point d'abscisse $3$ une tangente d'équation

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{$y = -3x + 8$}& \fbox{$y=3x$}&\fbox{$y = 3x -  10$}\\
\end{tabularx}
 
\medskip  

\item La courbe $\mathcal{H}$ représentative de la fonction $h$ définie sur l'ensemble des nombres réels par  $h(x) = \dfrac{3x+ 1}{x^2 + x + 2}$	 admet une asymptote 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{horizontale}& \fbox{verticale}&\fbox{oblique}\\
\end{tabularx}
 
\medskip  
  
 \item La fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~+\infty[$ par $k(x) = \text{e}^{1+\ln x}$
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{\begin{minipage}{0.85\linewidth}est croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \end{minipage}}& \fbox{\begin{minipage}{0.85\linewidth}est décroissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ \end{minipage}}&\fbox{\begin{minipage}{0.85\linewidth}n'est pas monotone sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$\end{minipage}}\\
\end{tabularx}
 
\medskip 

\item Deux baisses successives de 50\:\% peuvent être compensées par: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{\begin{minipage}{0.85\linewidth}deux hausses successives de 50\,\%\end{minipage}}& \fbox{une hausse de 100\:\%}&\fbox{une hausse de 300\,\%}\\
\end{tabularx}
 
\medskip  
	 	 
\item Une zone de reforestation a été replantée de 75\:\% de chênes et de 25\,\% de charmes. On sait que 22\,\% des chênes et 9\,\% des charmes plantés sont morts la première année. Après la première année, la part des chênes encore vivants parmi les arbres encore vivants dans cette zone de reforestation est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{153\,\%}& \fbox{158,5\,\%}&\fbox{72\,\%}\\
\end{tabularx}
 
\medskip   

\end{enumerate} 

\newpage

{\bf \large Exercice 4} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
 
Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, recopier la réponse choisie. 

Aucune justification n'est demandée.
 
\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une forêt, exploitée depuis le premier janvier 2005, voit sa population d'arbres diminuer de 10\,\% chaque année. En supposant que la déforestation se poursuive à ce rythme, la population d'arbres aura diminué le premier janvier 2010 d'environ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{41\:\% }& \fbox{50\:\%}&\fbox{59\:\%}\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item Soit la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par $V_{0} = 5,\: V_{1} = 7$ et $V_{n+2} = 3V_{n+1} - 2V_{n}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{$V_{3} = -2$}& \fbox{$V_{3} = 19$}&\fbox{$V_{3} = 23$}\\
\end{tabularx}
 
\medskip
  
\item Dans un repère de l'espace, le plan (P) d'équation 5x - z+ 7 = 0 est parallèle à l'axe

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{des abscisses}& \fbox{des ordonnées}&\fbox{des cotes}\\
\end{tabularx}
 
\medskip 
 
\item Dans un repère de l'espace, l'intersection de la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z = x^2 - y + 3$ et du plan $(Q)$ d'équation $z = 7$ est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{une droite}& \fbox{une parabole}&\fbox{un point}\\
\end{tabularx}
 
\medskip 

\item Le plan (ABC), dessiné ci-dessous dans un repère de l'espace, a pour équation

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\fbox{$3x + 6y + 4z = 9$}& \fbox{$2x + y - z = 6$}&\fbox{$4x + 2y + 3z = 12$}\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}
\smallskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\def\point{\qdisk(0,0){1.25pt}}
\begin{pspicture}(11,10)
\psline(4.4,0)(4.4,10)\psline(1,0.95)(7.7,6.98) \psline(0,5.1)(10,2.6)
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\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(7,8)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}