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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}\hfill 4 points
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité 
qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $\dfrac{1}{3}$ . Lorsqu'elle 
a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au 
lancer suivant est égale à $\dfrac{4}{5}$. On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.
 
Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on considère les évènements suivants :

$A_n$~: \og Alice atteint la cible au $n\up{e}$ coup \fg.

$B_n$~: \og Alice rate la cible au $n\up{e}$ coup \fg.

On pose $P_n = p(A_n)$.

Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{4}{15}$. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, 

\[p_n = \dfrac{2}{15}p_{n - 1} + \dfrac{1}{5}.\]
 
\item Pour $n \geqslant 1$ on pose $u_n = p_n - \dfrac{3}{13}$. 
Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le 
premier terme $u_1$ et la raison $q$. 
\item Écrire $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +~\infty} p_n.$ 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormal direct \Oij, d'unité 2 cm, on considère les points A,~ B,~ C et D d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = - \text{i}~;~ z_{\text{B}} = 3~;~ z_{\text{C}} = 2 + 
3\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = - 1 + 2\text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item Placer sur une figure les points A,\:B,\:C et D. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le module et l'argument 
du complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} - 
z_{\text{B}}}$. 
		\item Calculer le complexe $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{D}} - 
z_{\text{B}}}$. 
		\item Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
		 
		\item Calculer l'aire $s_0$ du quadrilatère ABCD. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la figure précédente les points 
$\text{A}_1,~ \text{B}_1,~ \text{C}_1$ et $\text{D}_1$ tels que
 
$\vect{\text{DA}_1} = \vect{\text{A}_1\text{B}_1} = 
\vect{\text{B}_1\text{C}}$, où les points $\text{A}_1$ et 
$\text{B}_1$ appartiennent à [DC], le quadrilatère $\text{A}_1\text{B}_1 
\text{C}_1\text{D}_1$ étant un carré situé à l'extérieur du quadrilatère 
ABCD. 
		\item Tracer le carré $\text{A}_1\text{B}_1 
\text{C}_1\text{D}_1$ et déterminer son aire $s_1$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On continue par le même procédé : un carré 
$\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$ étant déterminé, on considère 
les points $\text{A}_{n+1},~\text{B}_{n+1},~\text{C}_{n+1}$ et $\text{D} 
_{n+1}$ tels que $\vect{\text{D}_n\text{A}_{n+1}} = 
\vect{\text{A}_{n + 1}\text{B}_{n + 1}} = \vect{\text{B} 
_{n+1}\text{C}_n}$ où les points 
$\text{A}_{n+1}$ et $\text{B}_{n + 1}$ appartiennent à $[\text{D}_n 
\text{C}_n]$, le quadrilatère 
$\text{A}_{n+1}\text{B}_{n+1}\text{C}_{n+1}\text{D}_{n+1}$ étant un carré 
situé à l'extérieur du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$

Tracer le carré $\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2$. 
\item Soit $s_n$ l'aire du carré $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n$.

Exprimer $s_{n + 1}$ en fonction de $s_n$, puis de $n$.

En déduire $s_n$ , en fonction de $n$. 
		\item Déterminer, en fonction de $n$, l'aire $S_n$ de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés $\text{A}_1\text{B}_1 \text{C}_1\text{D}_1,~\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2 
,~\ldots$ et $\text{A}_n\text{B}_n\text{C}_n\text{D}_n.$ 
		\item La suite $(s_n)$ est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer PGCD$(\np{2688}~;~\np{3024})$. 
\item Dans cette question, $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes
		
$(1)~ \np{2688}x + \np{3024}y = - \np{3360}$;

$(2)~ 8x + 9y = -~10.$ 
		\item Vérifier que $(1~;~- 2)$ est une solution particulière de l'équation 
(2). 
		\item Déduire de ce qui précède les solutions de (2). 
	\end{enumerate} 
\item Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace.
 
On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives 
\[x + 2y - z = - 2 \quad \text{et} \quad 3x - y + 5z = 0.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D). 
		\item Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l'équation 
(2).
		\item En déduire l'ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage 

\textbf{Problème}\hfill 11 points 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+~\infty[$ par : 

\[f(x) = 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un 
repère orthonormal \Oij ; unité graphique : 5~cm. 

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. Déterminer les 
asymptotes de $(\mathcal{C})$.
\item Étudier le sens de variation de $f$. Dresser le tableau 
de variation de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1\right]$ une solution unique, notée 
$\alpha$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{- 2}$.
 
Donner, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ sur 
$]0~;~+ \infty[$.
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B Calcul d'aire} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $(D)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie, pour tout $x > 0$, par : 

\[\varphi(x) = x - x^2 + \ln x.\] 

Calculer $\varphi'(x).$
 
En déduire le sens de variation de $\varphi$, puis le signe de 
$\varphi(x)$, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que, pour tout $x > 0,~f(x) - x = \dfrac{\varphi(x)}{x}$. 
		\item En déduire la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(D)$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère le domaine limité sur le graphique par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et la tangente $(D)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer ce domaine.
		\item Soit $\mathcal{A}$ son aire, en cm$^2$. Écrire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ 
comme expression polynomiale du second degré en $\alpha$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C Étude d'une suite}

\medskip
 
Soit $x_{0}$ un réel appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$. On note $M_{0}$ le point de $(\mathcal{C})$d abscisse $x_{0}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\left(T_{0}\right)$ 
à $(\mathcal{C})$ en $M_{0}$, en fonction de $x_{0},~f(x_{0})$ et $f'(x_{0})$.
		\item Soit $x_{1}$ l'abscisse du point d'intersection de $\left(T_{0}\right)$ avec l'axe des 
abscisses. Écrire $x_{1}$ en fonction de $x_{0},~f\left(x_{0}\right)$ et 
$f'(x_{0})$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $h$ définie sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$ par : 

\[h(x) = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}.~\text{(On remarquera que}~ 
h\left(x_{0}\right) = x_{1}).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $h'(x) = \dfrac{f''(x) \times f(x)}{[f'(x)]^2}$. 
		\item Calculer $f''(x)$ et étudier son signe sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right]$. 
		\item En déduire que $h$ est strictement croissante sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~ 
\alpha \right]$ , puis montrer que $x_{1} < \alpha$. 
		\item En écrivant $h(x) - x = - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$, étudier le signe de $h(x) - x$ sur $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha\right]$
		
En déduire que $\dfrac{1}{\text{e}} < x_{0} < x_{1} < \alpha$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha \right],~ h(x)$ appartient à $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\alpha\right]$. 
		\item On considère la suite $(x_{n})$ de réels définie par $x_{0}$ et $x_{n+1} = h(x_{n})$ pour tout entier naturel $n$.
 
Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est strictement croissante. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document} 
